Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Задача 1. Пусть основное поле Д алгебраически замкнуто. Тогда, кроме дифференциалов первого рода, не существует дифференциалов, кратных дивизору р-1, т. е. не существует дифференциалов лишь с одним простым полюсом р.
Задача 2. При тех же предположениях для каждого п > 1 существует элементарный дифференциал второго рода со (рл), который имеет относительно плейса р полюс п-то порядка. Каждый дифференциал, являющийся кратным дивизора р~га, может быть получен как линейная комбинация дифференциалов со (р2), со (р3) со (ри) и g линейно независимых дифференциалов первого рода.
Задача 3. При тех же условиях для любых двух плейсов р! и р2 существует элементарный дифференциал третьего рода со(р1, р2), который имеет относительно р! и р2 простые полюсы. Каждый дифференциал может быть представлен как линейная комбинация элементарных дифференциалов второго и третьего рода и дифференциалов первого рода.
§ 154. Теорема Римана — Роха
Теперь мы у цели. Прежде всего определим произведение иХ, составленное из некоторой функции и и некоторого ковектора X. Произведение определяется как линейное отображение из 58 в А:
V-иХ — Уи ?%. (1)
Очевидно, операция ?иХ обладает свойствами А), Б) и В) из § 152, а потому с помощью (1) оказывается определенным некоторый ковектор иХ.
Если X — дифференциал, то и иХ — дифференциал:
и-иХ — ои-Х — 0 для всех V.
Следующие вспомогательные утверждения почти очевидны:
Лемма 1. Если X — кратное дивизора П = ]^[ то V ? X — О для всех векторов V, делящихся на О1, и наоборот.
Доказательство. Пусть ковектор X задается последовательностями {с^,*}. Если X — кратное дивизора ?>, то в эти последовательности входят лишь индексы Если, далее, вектор V
§ 1541 ТЕОРЕМА РИМАНЛ - РОХА 565
задается степенными рядами
У’» = Е°»»я/ (2)
и У делится на ?> х, то в степенные ряды (2) входят лишь слагаемые с /^ — д. Скалярное произведение
у.Х= 2 (3)
/+*г = — 1
равно нулю, так как сумма / + ? никогда не обращается в —1. Обратно, если У-А, —0 для всех делящихся на И~1 векторов У, ТО В последовательность {«),*} могут входить лишь члены с к^й, а потому X — кратное дивизора О.
Лемма 2. Если X является кратным дивизора О, то иХ — кратное дивизора иИ.
Доказательство. Согласно лемме 1 равенство У• X = О имеет место всякий раз, когда У делится на ?> \ поэтому У«->1 = 0 всякий раз, когда У« делится на О-1, т. е. У-пА, = 0, если У делится на {иИу1.
Пусть теперь X —некоторый дифференциал. Согласно § 153 существует дивизор П, на который делится X. Пусть б = р_л, где р — некоторый простой дивизор степени /\ Дивизор В~Ю = \>пй имеет степень
= «/ + «(?).
Число линейно независимых кратных и дивизора ВО-1, в соответствии с римановой частью теоремы Римана — Роха, удовлетворяет неравенству
1(В~10)^п{ + п(0)-§+\. (4)
Если « — кратное дивизора ВБ-1, то «О —кратное дивизора В. Согласно лемме 2 гД —кратное дивизора «?), а потому иХ — кратное и дивизора В. Общее число линейно независимых дифференциалов, являющихся кратными дивизора В, равно ? (В). Следовательно, из (4) получается
nf + n(D) — g + l?s?i(B). (5)
Для п> 0, согласно (12) из § 153, имеет место равенство
ЦВ)~п? + е-1. (6)
Подставим это в (5); тогда получится
n(D)^2g-2. (7)
Таким образом, степень дивизора О ограничена сверху. Следовательно, для заданного дифференциала X существует некоторый максимальный дивизор Ок такой, что X является кратным дивизора но не является кратным никакого другого дивизора
566
АЛI ЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ [ГЛ. XIX
типа ГДр', где р'— произвольный простой дивизор. Однозначно определенный максимальный дивизор Z\, являющийся кратным дифференциала к, называется дивизором дифференциала к.
Докажем теперь следующее:
Все дифференциалы © имеют вид ик, где к — произвольно фиксированный дифференциал.
Доказательство. Предположим противное: существует
дифференциал со, который не представляется в виде ик. Тогда
икфося для всех функций и и v, отличных от 0. (8)
Как было показано после соотношения (4), существует по меньшей мере
nf + n(DK)-g +1
линейно независимых дифференциалов ик, кратных дивизору В = Равным образом существует по меньшей мере
га/ + га (Da) — g -f 1
линейно независимых дифференциалов исо, кратных дивизору В. Все эти дифференциалы независимы, потому что никакая линейная комбинация дифференциалов ик не равна линейной комбинации дифференциалов исо. Следовательно, при сделанном предположении существует всего
2га/ -f const
линейно независимых дифференциалов, кратных дивизору В. Но согласно (6) существует всего лишь nf-\-q— 1 таких дифференциалов. Для больших значений га в полученном результате заключено противоречие. Следовательно, все дифференциалы имеют вид «Д, что и утверждалось.
Заменим теперь В на произвольный дивизор А и вновь зададимся вопросом: сколько существует линейно независимых диф-
ференциалов со = ик, являющихся кратными дивизора А? Если ик — кратное дивизора А, то к — кратное дивизора и 1 А, и, следовательно, максимальный дивизор D>, делится на и-1 А, а потому га?Д делится на А; следовательно, и —кратное дивизора АДД. Обратно, если га —кратное дивизора ADl\ то, обращая рассуждения, получим, что ик — кратное дивизора А. Таким образом, имеет место равенство
