Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Варден Б.Л. -> "Алгебра " -> 218

Алгебра - Варден Б.Л.

Варден Б.Л. Алгебра — Наука , 1950. — 649 c.
Скачать (прямая ссылка): algebra1950.djvu
Предыдущая << 1 .. 212 213 214 215 216 217 < 218 > 219 220 221 222 223 224 .. 247 >> Следующая

Для каждого элемента у = У] еда из Е^ и каждого элемента а из Э/ можно построить скалярное произведение
о-а = с1а1 +.. .Д-сда.
Аналогичным образом для бесконечномерного векторного пространства 3} векторов V мы построим двойственное пространство ковекторов X.
Если каждому плейсу р сопоставить последовательность
§ 152] ВЕКТОРЫ И КОВЕКТОРЫ 5ЙУ
(6 = 6, 6 + 1, ...) элементов из причем так, чтобы во всех этих последовательностях вместе было только конечное число отрицательных индексов 6, то полученная система последовательностей будет называться ковектором Я. Скалярное произведение вектора V и ковектора Я определяется так:
2 <4>
» /+*=—1
Так как существует лишь конечное число элементов пр. с отрицательными / и лишь конечное число элементов арй с отрицательными 6, то в сумму (4) входят лишь конечное число слагаемых. Отдельные слагаемые — это скалярные произведения и-а, т е. элементы из Д.
Операция Я является отображением пространства 33 векторов V в поле констант, обладающим следующими свойствами:
A) (К + №)-Я= У-Я + № -Я,
Б) (сУ)-Я = с(У-Я),
B) V ? Я = 0, если только V делится на некоторый зависящий только от Я дивизор О.
Свойства А) и Б) очевидны. Чтобы доказать В), заметим, что-существует лишь конечное число плейсов р, для которых последовательность {о+} начинается с отрицательного индекса 6 = = — д. Если из этих плейсов составить дивизор с показателями Л:
я=ПИ.
то получится утверждение В).
Совокупность всех векторов V, делящихся на дивизор Д называется окрестностью нуля в векторном пространстве 33. Таким образом, свойство В) утверждает, что линейный функционал Я отображает некоторую окрестность нуля на нуль. Следовательно, свойство В) —это некоторое свойство непрерывности.
Докажем теперь следующее:
Каждое отображение Я пространства 33 на поле Д со свойствами А), Б) и В) может быть задано с помощью последовательностей |осрй|.
Доказательство. Каждый вектор V может быть представлен в виде суммы некоторого вектора, делящегося на Г), и конечного множества векторов VVj, содержащих в своих разложениях относительно плейса р лишь слагаемое шД (все прочие их компоненты — нулевые):
(У»,)» = шД,
(VР/')Р' = 0 для р' Ф р или /' Ф }.
560
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
[ГЛ. XIX
При этом, как всегда, V = ^ еда — некоторый элемент векторного пространства Ь). Если отображение -X применить к определенному выше вектору Ур/, то получится некоторый элемент УР/.-Х из А, зависящий линейно от V и, следовательно, представляемый в виде и-а, где а —некоторый элемент из Б]. Элемента мы обозначим через а^, где 6 определяется равенством
/ + & = —1 •
Так как вектор Ур/ не делится на Б, то имеет место неравенство / < б, так что — г/; поэтому в последовательностях {ар/^ участвует в общей сложности лишь конечное число отрицательных индексов. Далее из А) и В) следует, что
р / р / + * 1
что и доказывает требуемое.
На основании доказанного предложения ковекторы X можно определить и как отображения векторного пространства 58 в поле А со свойствами А), Б) и В). Такое определение инвариантно, т. е. не зависит от выбора элементов и>1 и я.
§ 153. Дифференциалы. Теорема об индексе специальности
С помощью ковекторов мы вычислим теперь индекс специальности г (В). Прежде всего докажем две леммы:
Если дивизор В не является специальным, а дивизор А — кратное дивизора Б, то и А не является специальным.
Доказательство. Согласно (6) из § 150 имеет место неравенство
п{А)-1{А)^п{Р)-1(В).
Следовательно, если п (Б) — I (Б) равно максимальному возможному значению 1, то и подавно п(А) — 1(А) имеет максимальное возможное значение ц— 1.
Следствие. Каждый дивизор В обладает кратным дивизором А, не являющимся специальным.
Доказательство. Пусть Б — не специальный дивизор. Выберем А как общее кратное дивизоров В и О. Из предыдущей леммы сразу же получается нужное утверждение.
Положим Л=]Др° и Д = Пусть Л —кратное диви-
зора В, так что Ь^а, и ЭЛ (В) е ЭЛ (Л). Предположим, что дивизор В специальный, а дивизор Л —нет. Тогда, конечно,
/(Л) = п(Л)-?+1, (1)
ЦВ) = п{В)-8+1+ЦВ). (2)
§ 153] ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ. тёорема об индексё специальности 5б1
Так же, как в § 150, запишем 2(а —^)/ линейных уравнений, которым должен удовлетворять некоторый элемент из ЭЛ (Л) вида
и = ~Т Й/й/ (3)
для того, чтобы принадлежать ЭЛ (В). Пусть разложение элемента и относительно плейса р начинается так:
« == (с-„, 1^1 + ••• +с-в,/^)я-в; (4)
тогда (а — Ь)[ условий-равенств для плейса р таковы:
с^ = 0 (- а ?$; < 6, 1 «с V е?/). (5)
Коэффициенты ср зависят, разумеется, от плейса р, так что следовало бы писать с/у(р), но мы этого не делаем.
Если бы 2 (а — Ь) f = п (Л) — п (В) уравнений (5) были независимы, то выполнялось бы равенство
1(А)-1{В) = п{А)-п{В).
Но согласно (1) и (2) разность 1{А) — 1{В) на 1 (В) меньше, чем п(А) — п(В)\ следовательно, существует 1{В) линейных зависимостей между левыми частями уравнений (5), т. е. существует г (В) независимых соотношений
#Ы=2 2 2 с/уу/ч = 0, (6)
р /=~ау=1
которые должны иметь место для каждого элемента и из ЭЛ (Л).
Предыдущая << 1 .. 212 213 214 215 216 217 < 218 > 219 220 221 222 223 224 .. 247 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed