Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Все полюсы функции г находятся в знаменателе П. Для достаточно большого тг функция щ является, следовательно, кратным дивизора Д-"1*-1. Выберем далее число т, превосходящее все тр
т лг т1 -]- 1 (г = 1, ..., п).
Так как 2 (т — т*) элементов поля К
(0 р < т — /щ)
000 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ [ГЛ XIX
линейно независимы над А и являются кратными дивизора Б т, то они принадлежат модулю 5ДО (От). Отсюда следует, что
2 (т - т,) I (От) - : п (От) + 1,
или
пт — 2] /лг^/ (От)т • я (О) +1. (6)
Если устремить т к бесконечности, то из (6) получится соот-
ношение
однако раньше уже было доказано, что я ^ я (?)), поэтому
я = я(П). (7)
Разумеется, имеет место и аналогичное равенство
я = л(С). (8)
Из (7) и (8) следует, что
л((г)) = л(С?> *) = 0. (9)
Из (9) следует далее, что
п(гА) = п(А), (10)
т. е. эквивалентные дивизоры имеют не только одинаковые размерности I (А), но и одинаковые степени п (Л).
Подставим (7) в (6); тогда получится соотношение
п(0)-т—'?1т1^1 (?>т),
или
п (Пт) - I (Эт) *? 2 т‘- (П>
Если В —делитель дивизора От, то, согласно (6) из § 150, имеем
п (В) — I (В) п (Пт) -1 (?>т), а потому в силу (11)
п(В)-1(В)^ 2 т1. (12)
Пусть теперь А — произвольный дивизор. Покажем, что (12) имеет место и для А. Для этого достаточно доказать, что существует эквивалентный дивизору А дивизор и А = В, который является делителем некоторой степени Эт.
Пусть р—-простой множитель, входящий в Л=]^[р'? с некоторым положительным показателем. Если все эти простые дивизоры р являются полюсами функции г, то уже сам А является делителем дивизора От и доказывать больше нечего. Если же
§ 152]
ВЕКТОРЫ И КОВЕКТОРЫ
557
некоторый р не является полюсом функции г, то так же, как и выше, можно найти многочлен р = р (г), который имеет относительно плейса р положительный порядок. Умножив А на р-а, устраним множитель рй в А. Так можно устранить все с й>0, не являющиеся полюсами функции г. В конце концов получится эквивалентный дивизору А дивизор В = иА, являющийся делителем дивизора Ют, причем для В имеет место (12). Следовательно, (12) имеет место и для А:
п(А)-1(А)^^т1. (13)
Словами: разность га (Л) —/(Л) ограничена для всех А.
Верхняя грань ^ множества чисел п (Л) — I (А) +1 по всем дивизорам А называется родом поля К.
ДляЛ=(1) имеем: п (А) — I (Л) = 0 — 1 =—1; следовательно, §3^0. Таким образом, род § —это неотрицательное целое число, числовой инвариант поля функций К.
По определению рода для всех Л имеет место соотношение
П(А) — I (Л) + 1 5^7 ?,
или
/(Л)^«(Л)-?+1, (14)
где по крайней мере для одного дивизора Л имеет место знак равенства. Неравенство (14) называется римановой частью теоремы Римана — Роха.
Положим
/ (Л) = п (Л) — §+1 +1 (Л) (15)
и назовем число 1 (Л) индексом специальности дивизора А. Дивизор Л называется специальным, если 1'(Л)>0. Если не является специальным, то разность п(А) — 1(А) имеет наибольшее возможное значение — число ?—1. Существуют дивизоры Л, не являющиеся специальными. Наша задача состоит в том, чтобы вычислить индекс специальности I (Л) и тем самым полностью доказать теорему Римана —Роха.
Задача 1. Поле рациональных функций К = Д(г) имеет род нуль и обладает простыми дивизорами степени 1.
Задача 2. Если поле К имеет род нуль и обладает простым дивизором )> степени 1, то Н является полем рациональных функций Д (г). (Применить к Л = р формулу (14).)
§ 152. Векторы и ковекторы
В разложении в ряд функций поля К относительно плейса р в качестве коэффициентов при степенях униформизирующей я встречаются выражения вида
(1)
558 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ [ГЛ. XIX
Эти выражения (для каждого плейеа р) образуют некоторое /-мерное векторное пространство Ь) над полем Л.
Степенные ряды относительно плейса р можно теперь записать в более простом виде:
ОО
Е, = 5>л‘, (2)
а
или, если нужно выразить зависимость коэффициентов vk от плейса р,
СО
= (3)
а
Если каждому плейсу р сопоставить степенной ряд (3) с произвольно заданными коэффициентами у^ из Ь^, причем так, чтобы во всех этих степенных рядах участвовало лишь конечное число членов с отрицательными степенями, то получится система степенных рядов, называемая вектором V. Степенные ряды называются компонентами вектора V. Независимо от специального выбора униформизирующей п и базисных векторов в (1), упомянутые степенные ряды можно рассматривать как элементы соответствующего плейсу р пополнения (}?')• этих элементов Е„ только конечное число могут иметь отрицательный порядок 1Е» (Ег); в остальном они выбираются произвольно.
Говорят, что вектор V делится на дивизор О = р", если
ряд (3) относительно каждого плейса р начинается с па:
(Ер)5й^ для всех р.
В частности, к числу векторов V относятся функции и поля Н, потому что каждая функция и относительно каждого плейса может быть разложена в степенной ряд (3) и во все эти степенные ряды входит в совокупности лишь конечное число членов с отрицательными показателями.
Согласно § 21 по векторному пространству Еу можно построить двойственное векторное пространство Оу. Элементами пространства Б) являются линейные формы на Ь(.
