Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Варден Б.Л. -> "Алгебра " -> 216

Алгебра - Варден Б.Л.

Варден Б.Л. Алгебра — Наука , 1950. — 649 c.
Скачать (прямая ссылка): algebra1950.djvu
Предыдущая << 1 .. 210 211 212 213 214 215 < 216 > 217 218 219 220 221 222 .. 247 >> Следующая

Цель последующего исследования состоит в определении ранга / (Л) модуля ЭЛ (Л), т. е. числа линейно независимых кратных дивизора Л-1. Число /(Л) называют также размерностью дивизора А. Проведенное выше доказательство дает для целых дивизоров Л неравенство
/(Л)<п(Л) + 1. (4)
Говорят, что дивизор Л = ]^[р° делится на дивизор В = ]^|Цг',
если ЛВ-1 — целый дивизор и, следовательно, а^Ь для всех к
Само собой разумеется, что тогда п(А)^п(В) и I (Л) 5=1 (В).
Выведем теперь одно неравенство для разности п(А) — 1(А). Метод будет таким же, как выше. Пусть кратные дивизора Л 1 имеют вид
2 = Ь1г1 +.. • + Ь^1, (5)
§ 150] ДИВИЗОРЫ и их кратные 555
где Ь1 — константы и 1 = 1 (Л). Чтобы функция г принадлежала не только ЭЛ (Л), но и ЭЛ (В), в разложении
г = (с^а>^1 + ... + с-а,^) л~а +...
все коэффициенты при степенях П~а, ЛГ°+1, ... , Л-Ь'1 должны равняться нулю. Это дает для каждой точки (а —6)/ линейных условий и, следовательно, всего
2] (а - &) / = 2] а/- ][] &/== п (Л) - « (5)
линейных уравнений для коэффициентов Ьг, ..., Ьг в (5). Каждое линейное уравнение понижает ранг самое большее на 1; следовательно,
1(В)^1(А)-[п(А)-п(В)],
или
п(Л)-/(Л)=>п(В)-/(В). (6)
Неравенство в (6) имеет место всякий раз, когда Л делится на В. Возьмем, в частности, Л равным некоторому целому дивизору, а В = (1); тогда правая часть в (6) равна
0-1= —1,
и мы заново получаем неравенство (4).
Следующая теорема почти очевидна:
Если г Ф 0, то модули ЭЛ (Л) и ЭЛ (гЛ) имеют одинаковые ранги'.
1(гА) = 1(А).
Доказательство. Если уи ..., —линейно независимые
кратные дивизора (гАу1 = г~1А~1, то
У12, .... у 12
— линейно независимые кратные дивизора Л-1 и наоборот.
Дивизоры Л и гЛ, отличающиеся лишь множителем (г), называются эквивалентными. Итак, мы видим, что эквивалентные дивизоры имеют одинаковые размерности.
Задача 1. Пусть /4 = Цра— некоторый дивизор в поле рациональных функций К = Д(х). Показать, что кратные дивизора Л-1 задаются равенством
г = / (*) П Р <*)"“’
где р (х) — неразложимые многочлены, которые, согласно § 147, соответствуют простым дивизорам р, входящим в А и отличным от р^.
Задача 2. На основании задачи 1 показать, что
I (А) = п (Л)+ 1, если п (Л) 0,
1{А) = 0, если л(Л)<0.
554 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ [ГЛ XIX
§ 151. Род g
Пусть г —функция поля К, отличная от константы. Дивизор (г) может быть представлен как частное двух целых дивизоров без общих простых множителей р:
(г) = CD К (1)
Дивизор С называется числителем, а дивизор D — знаменателем функции г. Степень поля К над Д (г) обозначим через п. Степень дивизора С = ]^[ рс равна
п (Q = Е cf’
соответствующим образом записывается степень дивизора D. Докажем теперь важное равенство
n(C),= n(D) = ti. (2)
Пусть v, р', ... — простые сомножители в дивизоре С = а с, с', ... — показатели степеней, в которых они входят в данный дивизор. Целая относительно плейса р функция и поля К имеет относительно этого плейса разложение в ряд вида
ОО
“ = Z1 {akiw1 + --- + akfwf)nh. (3)
о
Отбросим часть ряда, начинающуюся после членов, содержащих лс х; в результате получится сравнение
с — 1 f
и = 2 2 akiwink (mod яс), (4)
k = о; = 1
аналогичные сравнения можно записать для плейсов р' и т. д.
В силу теоремы о независимости (I из § 149) существует cf функций иИ, начала разложений (4) которых относительно плейса р состоят из одного слагаемого wtnk, а относительно остальных плейсов р', ... начала разложений равны нулю. Аналогично существует с'Г функций им, начало разложения каждой из которых относительно плейса р' состоит только из слагаемого wln'k и т. д. Мы утверждаем теперь следующее:
с/-f-с'/' +... = «(с) функций uki, u'ki, .• • линейно независимы над А (г).
Предположим противное: имеет место линейная зависимость
У! fki (z) uki -f- 2 fki (Z) u'ki= 0, (5)
где fM, fki, ... — многочлены от z. Можно предположить, что постоянные члены СЫ, c'hi, ... этих многочленов не все равны
§ 151] род е 555
нулю. Подставим в (5) вместо иы, и'ы, ... и в г разложения в ряды (3) относительно плейса у и рассмотрим результат по модулю яс, как это сделано в (4); тогда многочлены (г) перейдут в постоянные члены сы, функции ик1 — в функции т(Лк, а остальные и’ы, ... — в нуль. Тем самым из (5) получается
с-1 /
2 2 СА/Ш/Я* = 0(лс).
к —01 = 1
В силу единственности разложения в ряд (3) это соотношение возможно лишь тогда, когда все сы = 0. Аналогично все 4, должны равняться нулю и т. д. Мы получили, таким образом, противоречие.
Из доказанной линейной независимости следует, что
п^п(С).
Точно так же доказывается, если всюду заменить г на г1, что
п ^ п (О).
Пусть теперь (ии и,,) — некоторый базис поля К над А (г). Всегда можно предполагать, что «у остаются конечными относительно тех плейсов, где конечна функция г. Действительно, если «У имеет полюс относительно плейса у, относительно которого функция г остается конечной, то этому полюсу соответствует нормирование индуцирующее некоторое нормирование поля
А (г), отличное от нормирования шю, связанного с плейсом г —со. Отличные от Шоо нормирования поля А (г) являются, согласно § 147, р-адическими, т. е. соответствующими неразложимым многочленам р = р (г), где каждый многочлен р относительно рассматриваемого плейса имеет какой-то положительный порядок. Следовательно, произведение р^Ч] при достаточно большом й уже не имеет относительно у полюса. Так можно устранить последовательно все полюсы функций иI, в которых конечна функция г: достаточно умножить базисные элементы Му на подходящие многочлены от г.
Предыдущая << 1 .. 210 211 212 213 214 215 < 216 > 217 218 219 220 221 222 .. 247 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed