Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Ф (*) = у' Ф (N (г))
или, если вернуться к показательным нормированиям w и W,
W(z) = ^w{Nx{z)),
где т — степень поля Л над полем П. Для заданного нормирования w существует только конечное число возможностей продолжения до W. В классической теории этому соответствует тот факт, что над одной точкой числовой сферы расположено лишь конечное число точек римановой поверхности поля функций К.
Согласно § 147 все нормирования w поля А (х) дискретны, т. е. существует наименьшее положительное значение w0, на которое нацело делятся все остальные значения w (z). Поэтому и нормирования W поля К дискретны.
Подобно тому как это делалось раньше, мы нормируем нормирования W (г), потребовав, чтобы наименьшее положительное значение W (z) было равно 1. При этом все IУ (z) окажутся целыми числами. Нормированное таким образом нормирование зависит только от плейса р и будет обозначаться через или просто через р. Для каждого плейса существует некоторая уни-формизирующая л — элемент, для которого 1Ер(л) = 1. Целое число и7р(г) называется порядком функции г относительно р. Если оно равно положительному числу k, то говорят, что р — корень k-eo порядка или k-кратный корень функции г. Если порядок—отрицательное число — h, то плейс р называется полюсом порядка — h или h-кратным полюсом функции г.
548
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
[ГЛ. XIX
Кольцо классов вычетов 3 = 3/р, согласно § 141, является полем —полем классов вычетов нормирования. Оно содержит поле Д* тех классов вычетов, которые представляются константами из Д*. Так как Д* и Д* изоморфны, то можно отождествить Д* и Д* и рассматривать 3 как расширение поля Д*. Поле констант Д* вновь оказывается расширением основного поля Д.
Докажем теперь следующее: поле 3 является конечным расширением поля Д.
Доказательство. Так как я не принадлежит полю Д*, то этот элемент трансцендентен над Д, а потому К алгебраично над Д (л). Поле К получается из Д (я) присоединением конечного числа элементов, а потому К имеет некоторую конечную степень т над Д(я).
Предположим, что существует т + 1 линейно независимых над Д классов вычетов 0Х, ..., ят+1 из 3- Выберем из этих классов вычетов представители со1( ..., сот+1, принадлежащие 3- Эти т ?+• 1 элементов должны быть линейно зависимыми над Д(я). Следовательно, имеет место соотношение
Д (л) 01 + /т+1 (л) сот+1 = 0, (2)
в котором Мл), ..., /ш+1 (я)— многочлены из Д[л], среди которых не все равны нулю. Можно предположить, что эти многочлены не все делятся на я. По модулю р они сравнимы с некоторыми константами си ст+1; поэтому из (2) следует, что
^1^1 ?+?••• Ч_ст+1сот+1 = 0 (р), ИЛИ ф-. . . ф-Ст+1СОт4 ! = О,
а это противоречит предположению о линейной независимости элементов я,-. Поэтому поле 3 имеет над Д степень, не превосходящую т.
Тем самым мы доказали, что 3 конечно над Д. Так как Д* является подполем в 3, то Д* конечно над Д. Если поле Д алгебраически замкнуто, то 3 — Д* = Д.
Начиная с этого места, мы будем рассматривать не Д, а Д* в качестве основного поля и поэтому всюду опустим звездочку. Таким образом, мы будем считать, что Д алгебраически замкнуто в К.
Степень поля 3 над Д будет в дальнейшем обозначаться через /р или просто через /. В классическом случае алгебраически замкнутого поля констант / = 1.
Рассмотрим разложения элементов г данного поля К в степенные ряды ПО некоторой униформизирующей Я. Пусть (®!, ... ..., &{) — базис поля 3 над Д, и пусть я* — произвольный элемент из класса вычетов Я(. Если теперь г —элемент порядка Ъ, то гя ь — элемент порядка 0, принадлежащий, следовательно, кольцу 3.
§ 149] РАЗЛОЖЕНИЯ В РЯДЫ 549
При этом
гтгь == суоц +... + (р) (3)
с однозначно определенными коэффициентами с{ из Л. Разность
гл-г'-(с1со1 + ... + ^(о/) (4)
является элементом из у» а потому некоторым кратным унифор-мизирующей л:
2Л ^ ДуСО^-)-27Л,
г = (с^ 4-... + Фы/) л* + 2'лй+1.
Оставшееся в конце выражения слагаемое г1 = г'лй+1 имеет порядок, больший или равный числу Ь + 1, а потому к этому слагаемому можно применить описанную процедуру. После я шагов мы получим
6 -}- Я — 1
г= 2 (?аты1 + • • • + с*уОф) л* 4-
? — Ь
где последнее слагаемое имеет порядок, больший или равный числу Ь 4-я. При я оо остаточный член г5 стремится к нулю, и мы получаем
со
2 = 2 (с/цю14-...4-^/со/)л* (5)
к~Ь
с однозначно определенными коэффициентами си. Первый показатель степени Ъ может оказаться отрицательным, но всякий раз слагаемые с отрицательным показателем будут входить в ряд (5) лишь конечное число раз.
Описанную процедуру можно модифицировать, взяв вместо лй произвольный элемент лй порядка Ь и записав для гщ 1 сравнение вида (3). Тогда вместо (5) получится некоторое разложение в ряд по элементам пк:
СО
2=2 (С*1ь)х4_- • • + с*/ю/)зг*- (6)
к ~ Ъ
В (6) символы лй обозначают произвольно фиксированные функции порядка Коэффициенты сы из Л вновь определены однозначно.
Доказанная в § 148 аппроксимационная теорема может быть теперь переформулирована для функциональных полей:
I. Если для конечного множества плейсов р произвольно заданы конечные куски рядов (5), то в поле К всегда существует функция г, у которой разложения в ряд относительно этих плейсов начинаются с заданных частей ряда.
