Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Варден Б.Л. -> "Алгебра " -> 213

Алгебра - Варден Б.Л.

Варден Б.Л. Алгебра — Наука , 1950. — 649 c.
Скачать (прямая ссылка): algebra1950.djvu
Предыдущая << 1 .. 207 208 209 210 211 212 < 213 > 214 215 216 217 218 219 .. 247 >> Следующая

Вершиной классической теории алгебраических функций над полем комплексных чисел является теорема Римана—Роха. Имеются теоретико-функциональные, геометрические и алгебраические доказательства этой теоремы. Красивое теоретико-функциональное доказательство с использованием геометрических идей было найдено Жорданом (Jordan С.). Cours d’analyse, II, гл. VIII. Среди геометрических методов доказательства особенно выделяется metodo rapido Севери 1). Чисто алгебраическое доказательство Дедекинда и Вебера в J. reine und angew. Math., 1882, 92 было упрощено Эмми Нётер, обобщившей его на произвольные совершенные поля констант. Для произвольных полей констант теорему Римана —Роха впервые доказал Шмидт (Schmidt F. K.).—Math. Z., 1936, 41. Одно простое доказательство теоремы принадлежит Андре Вейлю (Weil A.). — J. reine und angew. Math., 1938, 179, методу которого мы здесь следуем.
§ 149. Разложения в ряды по степеням униформизирующих
Пусть К — поле алгебраических функций одной переменной, т. е. некоторое конечное расширение поля рациональных функций А(х). Выбор независимой переменной х совершенно произволен: вместо х можно взять любой трансцендентный над Д элемент. Нас интересуют лишь инвариантные, т. е. не зависящие от выбора х, свойства поля функций.
Элементы из К, являющиеся алгебраическими над Д, называются константами. Они составляют поле констант А*. Поле А* алгебраически замкнуто в К, т. е. все элементы из К, алгебраические над Д*, принадлежат А*.
Исходным понятием современной теории алгебраических функций является понятие нормирования. Так же, как и в § 147, здесь рассматриваются лишь такие нормирования поля функций К, относительно которых все константы с* из А*, отличные от нуля, имеют значение <р(с*)=1. Как и в § 147, сразу же легко проверить, что все эти нормирования являются неархимедовыми.
1) Новейшее изложение этого метода можно найти у С е в е р и (Severi F.).— Acta pont, accad. sei., 1952. Указанный метод оказал значительное влияние на доказательство Вейля, которое здесь излагается.
546
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ОДНОП ПЕРЕМЕННОЙ
[ГЛ XIX
По-прежнему мы будем записывать их в показательной форме:
Ф (z) — e~w{2). (1)
Следовательно, w(c*) = 0 для всех с*=^0 из А*. -
Задача. Еслч w (с) — 0 для всех с =5^0 из Д, то ai(c*)==0 для всех с* ф 0 из Д*.
Под плейсомх) поля К мы подразумеваем некоторый класс эквивалентных нормирований. Основанием для такого названия служат рассмотрения, проведенные в § 147 для поля рациональных функций А (х) с полем комплексных чисел в качестве поля констант. Если считать комплексную плоскость замкнутой до сферы с помощью добавленной точки оо, то каждой точке сферы (с или оо) соответствует ровно один класс эквивалентных нормирований, причем таким способом в § 147 были получены все нормирования поля рациональных функций А(х).
Для поля алгебраических функций над полем комплексных чисел можно осуществить в некотором смысле аналогичные конструкции, рассмотрев риманову поверхность заданного поля функций2). В § 141 уже было показано, что каждой точке Р этой поверхности соответствует класс эквивалентных нормирований поля функций К. В этом случае можно также доказать3), что таким способом получаются все нормирования, относительно которых константы с имеют значение ш(с) = 0.
В последующем теория плейсов и униформизирующих будет строиться чисто алгебраически, без использования понятия римановой поверхности. Между тем всякий раз, когда речь будет заходить о плейсе, читатель может мыслить себе точку на римановой поверхности.
Согласно § 141 каждому плейсу, т. е. каждому классу эквивалентных нормирований для функций К, соответствует кольцо нормирования 3 и идеал нормирования р, состоящий из всех элементов z поля К, для которых ш(г)>0. Согласно лемме 1
J) В оригинале местом (нем. Stelle, англ. place, франц. place); выбор этого несколько странного названия и обосновывается автором—с оттенком извинения —в ближайших двух абзацах. Иногда плейс определяют как гомоморфное отображение данного поля Н в поле с присоединенным символом со (см. Ленг С. Алгебра. —М.: Мир, 1968, с. 339). В любом случае термин «точка поля», пущенный в оборот при переводе на русский язык в 50-х годах, нельзя признать удачным, особенно в постоянном и неизбежном контексте с точками многообразий (в некоторых переводах появился еще и «центр точки»!). Во избежание недоразумений мы предпочитаем употреблять просто английский термин в русской записи. Таким образом, если, например, речь пойдет о плейсе поля функций, определенном точкой многообразия, то мы сможем, не боясь путаницы, говорить о любом из этих объектов. — Прим. ред.
2) См. Weyl H. Die Idee der Riemannschen Fl?che.— 3. Ed. —Stuttgart, 1955.
?) См. указанную выше книгу Вейля.
5 149]
РАЗЛОЖЕНИЯ В РЯДЫ
547
§ 148 два нормирования, соответствующие одному и тому же идеалу у, эквивалентны. Тем самым каждому идеалу нормирования соответствует один-единственный плейс. В дальнейшем мы будем обозначать плейс той же буквой р, что и соответствующий ему идеал нормирования.
Поле К по условию является конечным расширением поля рациональных функций Д (х). Следовательно, можно получить все нормирования поля К, отыскав сначала, следуя § 147, все нормирования поля А(х), а затем продолжив эти нормирования в соответствии с § 145 на К; для осуществления последней операции нужно - вложить поле К всевозможными способами в некоторое поле разложения Л того или иного многочлена F (t) над полным полем Q. Показательное нормирование w поля К можно сначала продолжить до такого же нормирования w поля Q, а затем, в соответствии с § 144, перейти совершенно однозначным образом к нормированию W поля Л; при этом для каждого элемента г из Л имеет место равенство
Предыдущая << 1 .. 207 208 209 210 211 212 < 213 > 214 215 216 217 218 219 .. 247 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed