Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
х =——; (1)
У — с’ ' '
тогда отношение многочленов степеней тип
/ (х) ахт +...
ф(х) =
при подстановке (1) и умножении числителя и знаменателя на (у — с)т+п переходит в некоторое отношение многочленов от у,
542
НОРМИРОВАННЫЕ ПОЛЯ
[ГЛ XVIII
числитель которого делится в точности на (у — с)п, а знаменательна (у — с)т. Значение отношения ф(у) при нормировании, соответствующем точке су равно, следовательно, разности степеней п — т. Таким образом, изоморфизм (1) переводит нормирование поля Д(л:) по степеням элементов в нормирование, соответствующее точке с и определенное на изоморфном поле Д (у).
«Точке» у —с в силу (1) соответствует «точка» х = со. Поэтому нормирование на функциональном поле А(х) по степеням называют нормированием, соответствующим точке со. При добавлении к комплексной плоскости точки оо плоскость замыкается в сферу, на которой все точки равноправны, и дробнолинейные подстановки
переводят каждую точку в любую наперед заданную. Очевидно, изоморфизм (1) —всего лишь частный случай подстановки (2).
Выясним теперь, каковы пополнения, соответствующие различным «точкам» заданного поля. Ранее (§ 142) мы видели, что пополнением, соответствующим точке с, является поле формальных степенных рядов
а = а-т (х - с)~т + ... -Мо-И! (х-с) + а2 (х-с)2+ ...
Коэффициентами в таких рядах являются произвольные константы: ряд всегда сходится в смысле р-адического нормирования, независимо от того, как выбраны его коэффициенты. В смысле теории функций такой ряд не обязан сходиться даже тогда, когда ак — комплексные числа: радиус сходимости может быть равным нулю.
Значение да (а) для указанного выше ряда равно —т, если а т — первый отличный от нуля коэффициент.
Точно так же точке со соответствует пополнение, являющееся полем всех степенных рядов от х1:
Каждому нормированию ср поля К, как было замечено выше, соответствует понятие предела; символ limav = ? означает, что lim ф (av — а) = 0. Непосредственно проверяется, что
Напомним, что два нормирования ф и ф называются эквивалентными, если из Птф(ау) = 0 следует, что Нтф(ау) = 0, и наоборот.
? = b-mxm + ... + Ь0 ф- Ьгх 1 Ь2х 2 + • • •
§ 148. Аппроксимационная теорема
0, если ф (а) < 1,
1, если ф (а) > 1.
§ 148] АППРОКСИМАЦИОННАЯ ТЕОРЕМА 543
В § 142 был доказан следующий критерий эквивалентности: Лемма 1. Два нормирования <р и ф эквивалентны тогда и только тогда, когда из ф (а) < 1 следует, что тр (а) <; 1.
В качестве следующего шага будет доказана
Лемма 2. Пусть ............. ср„ (п > 1) — конечное множество
неэквивалентных нормирований поля К. Тогда существует такой элемент а из К, что
Ф!(а)>1 и фу (а) < 1 (г = 2, .... п).
Доказательство проводится индукцией по п. Пусть сначала я = 2. Так как нормирования ф! и ф2 не эквивалентны, то по
лемме 1 существует элемент Ь, для которого
Ф1 (Ь) < 1 и ф2(Ь)5з=1,
а также элемент с, для которого
ф! (с) 2= 1 и ф2 (с) < 1.
Но тогда элемент а — Ь~1с обладает нужными свойствами:
Ф! (а) > 1 и фа (а) < 1.
Если для я — 1 нормирований утверждение предполагается верным, то существует такой элемент Ъ, что
Ф!(6)>1 и фу ф) < 1 (V = 2, ..., я — 1).
Согласно доказанному для я = 2 существует такой элемент с,
что
ф! (с) > 1 и ф„ (с) < 1.
Рассмотрим два случая:
Случай 1. ф„(6)^1. Построим аг = сЬг. Тогда
Ф1 Ю>1,
фп (О-г) < 1,
и для достаточно больших г
Фу(ял)<1 (г = 2, ..., я — 1).
Поэтому можно положить а = аг.
Случай 2. ф„(Ь)>1- Построим элементы
Последовательность {dr} сходится к с относительно нормирований фх И ф„ И СХОДИТСЯ к 0 относительно прочих нормирований фу. Поэтому
lim ф! (йг) = ф! (с) > 1,
1'Ш фп (dr) = ф„ (с) <1,
lim фу (с(Д = 0 (v = 2, ..., я —1).
544
НОРМИРОВАННЫЕ ПОЛЯ
[ГЛ. XVIII
Следовательно, элемент а = (1г при достаточно большом г обладает нужными свойствами:
Лемма 3. Если ср1; ц>„ — неэквивалентные нормирования, то существует элемент Ь данного поля, расположенный как угодно близко к 1 относительно нормирования срг и как угодно близко к О относительно нормирований ф2, • • ч Ф«-
Доказательство. В случае п = 1 утверждение тривиально. В случае п > 1 рассмотрим элемент а со свойствами (1) и построим элемент
Последовательность {Ьг\ стремится к 1 относительно нормирования (р! и стремится к 0 относительно нормирований ф2, ... ..., Ф„. Отсюда следует требуемое.
После этих подготовительных предложений будет доказана Аппроксимационная теорема. Пусть фь ..., ф„ — неэквивалентные нормирования. Для заданных элементов аъ ..., ап основного поля существует элемент а, который расположен как угодно близко к элементу ау относительно нормирования ф^
Доказательство. Согласно лемме 3 существуют элементы (V = 1, близкие к 1 оносительно нормирования фу и
близкие к нулю относительно прочих нормирований. Сумма
а — а1Ь1 апЬп
в таком случае расположена как угодно близко к ау относительно нормирования ф^,.
Изложенное здесь доказательство аппроксимационной теоремы заимствовано из курса лекций Э. Артина.
(у=2, ..., п).
(1)
фДа-у — а) се (V = 1, ..., п).
(2)
Глава девятнадцатая
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
