Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Аналогичная теорема имеет место в произвольном целостном кольце, целозамкнутом в своем поле частных. См. по этому поводу Крулль (Krull W-)-Idealtheorie. — Ergebnisse der Math., 4, Heft 3.
§ 147. Нормирования поля рациональных функций А (л:)
Пусть к произвольному полю А — «полю констант» — присоединена произвольная переменная а:. Опишемте нормирования поля А(х), в которых константы из А имеют норму 1.
В частности, суммы 1 -f 1 -)- ... +1 имеют при таких нормированиях норму 1; поэтому нормирование неархимедово. Мы будем записывать его в показательной форме:
cp = e-w,
так что по условию w(a) — 0 для всех констант а.
Возможны два случая:
1. w(f)^ 0 для всех многочленов f(x).
2. Существует многочлен /, для которого W(f)</ 0.
Может оказаться, что все w (f) = 0. Тогда и все дроби f/g имеют норму 0 и нормирование оказывается тривиальным.
Если это положение исключить, то в случае 1 обязательно существует многочлен /, для которого w(f)/> 0. Разложим / на простые множители; тогда по крайней мере один из множителей будет иметь норму, большую 1.
Если р (х) — этот множитель и и = w (р) — его норма, то каждый многочлен, некратный многочлену р (х), имеет норму 0. Действительно, предположим, что q (х) не делится на р (х) и имеет норму >0; тогда ввиду взаимной простоты р и q имеем
1 = Ap + Bq,
где А и В — некоторые многочлены. В случае справедливости сделанного предположения получим
w (Ар) = w(A)A-w (р) > 0, w (Bq) = w (В) + w (q) > 0,
и, в силу основного свойства неархимедовых нормирований, w (1) = w (Ар A-Bq) > 0,
что невозможно.
Если теперь / (х) — произвольный многочлен и
/ (*) = р (х)т q (х),
540
НОРМИРОВАННЫЕ ПОЛЯ
[ГЛ. XVIII
где <7 (х) не делится на р (х), то
ни ([) = тгю (р) + да (р) = то. Для отношения многочленов, как обычно,
да
(у) = да (/) - да (?)•
Следовательно, в случае 1 нормирование эквивалентно некоторому ^-одическому нормированию, определенному неразложимым многочленом р = р(х). Такие нормирования совершенно аналогичны р-адическим нормированиям поля рациональных чисел СЕ!.
Особенно простым является случай алгебраически замкнутого поля констант Д. Действительно, тогда не существует неразложимых множителей, отличных от линейных:
Каждому элементу а из А соответствует ровно один неразложимый многочлен р = х — а и, следовательно, одно р-адическое нормирование. Его называют нормированием, соответствующим точке а, потому что в случае комплексных чисел можно рассматривать а как точку на комплексной плоскости. В этом нормировании многочлен имеет значение т, если он делится в точности на (х — а)т или, другими словами, при условии, что а является корнем т-то порядка заданного многочлена. То же самое имеет место и для произвольной рациональной функции Ф = /Дд числитель которой делится в точности на (х — а)т, а знаменатель не делится на (х — а). Если же числитель не делится на (х — а), а знаменатель делится в точности на (х — а)т, то <р «имеет полюс т-го порядка в а» и значение да(ф) равно —т.
Итак, случай 1 рассмотрен полностью. Покажем теперь, что в случае 2 существует только одно (с точностью до эквивалентности) нормирование, а именно
где т — степень числителя /, а п — степень знаменателя р.
Доказательство. Пусть р (х) — многочлен наименьшей степени, для которого но (р) < 0. Степень многочлена р (х) не может быть равна нулю, потому что все константы по условию имеют нулевую норму. Но вместе с тем эта степень не может быть и больше 1, потому что в противном случае
р{х)=а0хп + а1хп-'1 + ... + ап, п> 1, а0фО,
и многочлен х, как многочлен меньшей степени, должен был бы иметь норму ы) (х) ^ 0, а потому и а^х"- имеет норму 5= 0; вместе с тем остаток а^'1+ ап, опять-таки как многочлен меньшей
р (х) = х — а.
§ 147] НОРМИРОВАНИЯ ПОЛЯ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ \(х) 541
степени, имел бы норму 5^0. Поэтому и сумма
р (х) = а0хп + (а1хп^ +... + ап)
имела бы норму 2^0, что противоречит условию.
Итак, многочлен р (х) линейный:
р (х) = х — с.
Если теперь
<7 (х) = х — Ь = (х — с) + (с — Ь)
— любой другой линейный многочлен, то, согласно сделанному выше замечанию и ввиду того, что до(х — с)<.м(с — Ь), имеем
до (<?) = гшп (до (х —с), до (с —&)) = до (р).
Таким образом, все линейные многочлены имеют относительно данного нормирования одну и ту же отрицательную норму: ДО (р) = ДО (<7) — — V.
Всегда можно перейти к эквивалентному нормированию и выбрать у= 1. Тогда все линейные многочлены будут иметь норму
— 1.
Степени хк имеют норму — При этом постоянный множитель не изменяет ее значения:
до (ахк) = —
Наконец, каждый многочлен / (х) является суммой слагаемых вида ахк. Согласно сделанному выше замечанию значение до (/) равно минимуму значений составляющих слагаемых, т. е.
® ф = — п,
если / имеет степень п. Тем самым все доказано.
В случае числового поля существует принципиальная разница между одним-единственным архимедовым нормированием и бесконечным множеством неархимедовых. В случае же поля рациональных функций нормирование с помощью степени совершенно равноправно с р-адическими нормированиями. Более того, с помощью очень простого изоморфизма полей можно перевести нормирование по степеням в произвольное наперед заданное р-адическое нормирование. Действительно, положим
