Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
§ И61 НОРМИРОВАНИЯ ПОЛЕЙ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ
637
В поле й2 признак Эйзенштейна неприменим. Положим х — = 2у + 1; тогда
хг — Ъ — (2у +1)2 — 5 = 4 (г/2 +г/ — 1),
а многочлен у2-\-у— 1 неразложим по модулю 2. Следовательно, х2 — 5 неразложим в поле 2-адических чисел и (8) выполняется и для р = 2.
Задача 1. Многочлен х2-\-1 неразложим над полем вещественных и полем 2-адических чисел. По модулю простого числа р, отличного от 2, этот многочлен разложим или нет в зависимости от того, имеет ли р вид 4к + 1 или 4к— 1. (Мультипликативная группа поля классов вычетов О/7 (р) является циклической порядка р—1. Она содержит корни четвертой степени из единицы или не содержит их в зависимости от того, делится ли р—1 на 4 или нет.)
Задача 2. Найти все нормирования поля гауссовых чисел а-\-Ы. Какие в данном случае существуют архимедовы нормирования? Каким простым числам соответствуют два нормирования, а каким — одно?
В § 141 мы видели, что существует тесная связь между теорией нормирований и классической теорией идеалов в полях алгебраических чисел. Теперь мы можем эту связь уточнить.
Пусть по-прежнему Ж— кольцо целых чисел в поле рациональных чисел (Е) и с — кольцо целых чисел в поле алгебраических чисел Л. Таким образом, как и в § 136, имеет место схема включений
2^»
П П (Ц ^ Л
Нормирования мы вновь будем записывать в показательной форме. Рассмотрим такие нормирования Ш поля Л, которые являются продолжениями р-адического нормирования тр на (Е). При этом тр определяется так: если целое число т делится в точности на рг, а п — в точности на р5, то
Докажем для начала следующую теорему:
Для элементов а кольца о число (а) неотрицательно-Предположим противное: число № (а) отрицательно. Как целый элемент, элемент а удовлетворяет уравнению вида
ап=с1ап~1 + ... + сп, (12)
где С; — числа из Ж. Левая часть в (12) при сделанном предположении имеет отрицательное значение
У/ (а") = п'№ (а);
однако правая часть в (12) имеет большее значение. Это дает нужное проти-воречне.
Множество чисел а из о, для которых ИГ (а) > 0, является простым идеалом р в о. Пусть я — элемент из о, который делится в точности на первую
степень идеала р. Тогда, если а делится в точности на РП то в силу § 137
ао = р/'с. (13)
В идеале с существует элемент с, не делящийся на р. Согласно (13) элемент пгс делится на а;
пгс = аЬ. (14)
538
НОРМИРОВАННЫЕ ПОЛЯ
[ГЛ. XVIII
Левая часть здесь делится в точности на рг, как и множитель а справа,
так что Ь не делится на V', и ХР (Ь) = 0. Равным образом ХР (с) = 0 и из (14)
следует что
ХР (а) = ХР (пг) = гХР (п). (15)
Так как ХР (я) является положительной константой, то нормирование ХР эквивалентно р-адическому нормированию
1Рр(а) = л (16)
Тем самым мы получили основной результат:
Все неархимедовы нормирования поля Л эквивалентны $-адическим нормированиям, которые определяются простыми идеалами р кольца с. Каждому простому идеалу р в кольце с, отличному от нулевого и единичного идеалов, соответствует некоторый класс эквивалентных неархимедовых нормирований ХР и наоборот.
Простое число р относительно нормирования ХР имеет значение 1, так как ХР совпадает на (Е) с р-адическим нормированием хи)р. Применим теперь формулу (15) к а = р. Слева получится 1, так что справа не может стоять нуль. Это означает, что простой идеал р должен входить в правую часть разложения на множители
(р) = ро = ре1 •р^. (17)
Пусть, например, р = ру Тогда справа в (15) мы должны положить г = еч, и получится
1 = еуХР (л).
Если мы теперь в (15) обе части умножим на ех, то в силу (16) получится соотношение
еуХР (а) = Ц7р (а). (18)
Таким образом: чтобы из нормирования ХР (а) получить нормированное р-адиче-ское нормирование ХРр (а), нужно все значения ХР (а) умножить на показатель степени в которой простой идел р = ру входит в (17).
Число х различных простых идеалов, которые участвуют в (17) справа, равно числу различных продолжений И7 р-адического нормирования иир поля (С), а потому равно числу простых множителей, участвующих справа в (1), которое и там обозначалось через 8.
Критерий целости. Элемент а поля Л принадлежит кольцу о тогда и только тогда, когда в каждом \>-адическом нормировании поля Л элемент а имеет неотрицательную норму.
То, что это имеет место «только тогда», мы уже доказали. Пусть теперь а = Ь/с — произвольный элемент из Л, где Ь и с — элементы из о. Разложим главные идеалы (Ъ) и (с):
(&)== (19)
(е) = р^. (20)
Используя при необходимости множители вида р°, мы можем достигнуть того, чтобы в разложениях (19) и (20) участвовали одни и те же простые идеалы ру Значение XX/ ^ (а) относительно р-адического нормирования, соответствующего простому идеалу ру в этом случае равно
ХР у (д) = /* у — 5у
Если все эти значения положительны или равны нулю, то идеал (Ь) делится
на идеал (с) Следовательно, Ь = сй, и элемент а — Ь/с = д лежит в о, что и
требовалось доказать,
§ 147] НОРМИРОВАНИЯ ПОЛЯ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИИ А(х)
539
Доказанную выше теорему можно сформулировать и следующим образом: Кольцо с равно пересечению колец всех р-одических нормирований поля частных Л, еде р пробегает множество всех простых идеалов кольца, за исключением (0) и (1).
