Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Доказательство. Из аЬ=0 (я) и а^О(я) следует (в силу 1) и 3)), что Ь°==0(я). Поэтому я —примарный идеал. Остается лишь показать, что р состоит из таких элементов Ь, что некоторая степень Ь° лежит в я- Половина этого утверждения заключена в условии 3). Остается показать, что из 6° = 0 (я) вытекает Ь = 0 (г). Пусть р —наименьшее натуральное число, для которого Ь° = 0(я). Для р=1 все следует из условия 2). Для р > 1 имеем: &-6р1 = 0(я), но &р_1э?0(я), откуда (в силу 1)) ^О(р).
Эта теорема облегчает доказательство примарности и отыскание ассоциированных простых идеалов в частых случаях; кроме того, теорема показывает, какими свойствами ассоциированный простой идеал определяется однозначно.
Свойство II имеет место и тогда, когда а и Ь заменяются на идеалы я и Ь:
IV. Из я!' = 0(я) и я^О(я) следует, что & = 0(р).
Действительно, если бы было Ь^ЁО(у), то нашелся бы элемент Ь в идеале 1', не принадлежащий идеалу I, и, точно так же, элемент а из я, не принадлежащий идеалу я- Произведение аЬ должно, однако, лежать в аЪ, а потому и в я, что противоречит доказанному ранее.
Точно так же доказывается соответствующее утверждение для простых идеалов:
из а!' = 0(р) и а =?0(р) следует, что в==0(р).
Вот одно следствие отсюда (получается (/г — 1 (-кратным применением доказанного):
из я/! =з 0 (р) следует, что а = 0 (р).
Другая формулировка предложения IV такова:
IV'. Из Ь^ЁО(р) следует, что я:Ь = Я-
В кольце классов вычетов г/я лежит идеал р/я (в силу р э я). Он состоит из всех нильпотентных элементов, а в случае я =? о из всех делителей нуля.
§ 117]
ПРОСТЫЕ ИДЕАЛЫ И ПРИМДРПЫЕ ИДЕАЛЫ
433
Свойства примерных идеалов в предположении справедливости теоремы о цепях делителей
Если V-простой идеал, ассоциированный с q, то некоторая степень каждого из элементов идеала р лежит в идеале Наименьшая из этих степеней зависит от выбираемых элементов и может неограниченно расти. Если же предположить, что в кольце о выполнена теорема о цепях делителей, то степень не может расти неограниченно, о чем говорит следующая теорема:
V. Некоторая степень рр делится на (ц
Доказательство. Пусть (рИ ..., р,.) — некоторый базис идеала V- Пусть в идеале 11 лежат степени р!’1, ..., рр/. Положим
тогда рр будет порождаться всевозможными произведениями элементов р,- по р штук в каждом из таких произведений. В каждом из этих произведений по крайней мере один из сомножителей Р( встречается более (р,-— 1) раз, т. е. не менее р; раз. Следовательно, все образующие идеала рр лежат в 9, откуда и получается требуемое.
Итак, между примарным идеалом д и ассоциированным с ним простым идеалом р выполняются следующие соотношения:
Наименьшее число р, для которого выполняются эти соотношения, называется показателем идеала >]. Показатель задает, в частности, верхнюю границу показателей тех степеней, в которые (по меньшей мере) нужно возвести элементы ИЗ р, чтобы получить элементы ИЗ С|.
Если идеал ^ примарен, то соотношения (2) являются характеристическими для ассоциированного простого идеала V- В самом деле, если другой простой идеал р' также удовлетворяет соотношениям (2) при показателе р', то
тем самым, р'=р.
VI. Из аЬ = 0(с|) и а^0(<1) следует, что для некоторого о имеет место соотношение: Ь° = 0(^).
Доказательство. Достаточно взять а = р. Из аЬ = 0(с|) и а =ёе 0 (1|) следует, как это было доказано раньше, что Ь = 0 (р)
рр = 0 (а).
(2)
рр Е 1] Е р' и, следовательно, рер', р'р' с(|ср и, следовательно, р' Е р;
434
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ КОММУТАТИВНЫХ КОЛЕЦ [ГЛ. XV
и потому
Ьр н= О (рр) == 0 (q).
Идеал я с только что описанным свойством называется сильно примарным, в противоположность определенным ранее слабо примарным или просто примарным идеалам. В случае выполнимости теоремы о цепях делителей оба эти понятия совпадают, потому что, как мы уже видели, примерные идеалы при этом являются сильно примарными, а обратное легко следует из возможности сведения идеалов а, 6 к главным идеалам (а), (Ь). Если же теорема о цепях делителей не имеет места, то, хотя каждый сильно примарный идеал и является слабо примарным, обратное не всегда верно. См. реферат работы: Вальфиш (Walfisch A.). ?ber prim?re Ideale.—Math. Rev., 1944, 5, S. 226.
Задача 1. Идеал a = (x2, 2x) в кольце целочисленных многочленов от одной переменной х не является примарным. Вместе с тем имеет место соотношение (х2) с: я cz (х) и идеал (х) простоя.
Задача 2. Если в кольце о есть единица, то само с является единственным примарным идеалом, ассоциированным с простым идеалом о.
§ 118. Общая теорема о разложении
Начиная с этого места, будем считать, что о — нётерово кольцо. Следовательно, в кольце о будут иметь место теорема о базисе, теорема о цепях делителей, условие максимальности и принцип индукции по делителям.
Идеал m называется приводимым, если он представляется в виде пересечения двух своих собственных делителей:
ш = аПЬ, а гэ ttt, b гэ т.
Если же такое представление невозможно, то идеал называется неприводимым.
Примерами неприводимых идеалов служат простые идеалы; действительно, если бы для какого-то простого идеала р оказалось выполненным равенство
