Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
и обратно.
Задача 1. Доказать соотношения:
(а : Ь): с = л : Ьс = (а : с) : Ь, а : (6, с) = (д : Ь) П (а : с).
Задача 2. Доказать равносильность трех уравнений:
а) л : ('[ = л и а : ?'а = а;
б) л : [В ПН] = л;
в) агМг —л-
§ 117. Простые идеалы и примарные идеалы
Ранее мы определили простые идеалы как идеалы, кольцо классов вычетов которых не имеет делителей нуля.
В кольце целых чисел каждое натуральное число а является произведением степеней различных простых чисел:
а = р°1...р°/> (1)
а потому каждый идеал (а) является произведением степеней простых идеалов:
(а) = (Р1р...(рг)0г.
В кольцах общего вида нельзя ожидать столь простых теорем о разложении идеалов. Например, в кольце целочисленных многочленов от одной переменной х идеал (4, х), не являющийся простым, имеет, кроме единичного идеала о, лишь один простой делитель (2, х), но не равен никакой степени идеала (2, х). Таким образом, в общем случае нельзя ожидать представления идеалов в виде произведений; самое большее, что можно ожидать, это представление идеалов в виде наименьших общих кратных
430
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ КОММУТАТИВНЫХ КОЛЕЦ (ГЛ XV
(пересечений) по возможности простых компонентх) в соответствии с тем представлением, которое дает (1) для идеала (а) как наименьшего общего кратного:
Входящие в это представление идеалы (ра) обладают следующим одним характерным свойством: если произведение аЬ делится на ра, а один из сомножителей, скажем а, не делится на р°, то другой сомножитель Ь должен содержать по крайней мере какой-либо делитель элемента ра. Это означает, что некоторая степень Ьр должна делиться на ра. Итак, из
Идеалы с таким свойством будут называться примарными. Идеал ц называется примарным, если из
Это определение можно высказать и так:
Если_ в кольце классов вычетов по идеалу я имеет место равенство йЬ = 0 и йф 0, то некоторая степень Ър должна быть равна нулю_.
Если йЬ = 0 и афО, то это означает, что б —делитель нуля. Если некоторая степень Ьр элемента равна нулю, то элемент Ь называется нильпотентным. Таким образом,
Идеал является примарным, если в кольце классов вычетов по нему каждый делитель нуля нильпотентен.
Как видим, это определение — небольшая модификация определения простого идеала; в кольце классов вычетов по простому идеалу каждый делитель нуля должен быть не только нильпотентным, но и равным нулю.
Мы увидим, что примарные идеалы в кольцах общего вида играют ту же роль, что и степени простых чисел в кольце целых чисел, а именно: при очень общих предположениях каждый идеал
!) Представление в виде наименьшего общего кратного в ряде случаев естественнее, чем представление произведением, а именно, когда нужнс выяснить, делится ли данный элемент Ь на идеал т, т. е. принадлежит ли он т. Если т = [1Ц, ..., аг], то Ь принадлежит т тогда и только тогда, когда Ь содержится в каждом
аЬ = 0 (ра), аф0(рр)
следует, что
Ьр = 0(р°).
аЬ = 0 (я), а ф 0 (я) следует существование такого р, что
Ьр = 0 (я).
§ 117) ПРОСТЫЕ ИДЕАЛЫ И ПРИМАРНЫЕ ИДЕАЛЫ 431
представляется как пересечение примерных идеалов и в этом представлении проявляются важнейшие структурные свойства идеалов.
Примарные идеалы не обязаны быть степенями простых идеалов, как показывает приведенный в начале пример идеала (4, х), который, очевидно, примарен. Обратное также неверно; например, в кольце целочисленных многочленов аа-\-а1х-\-.. ,-\-апхп, у которых аг делится на 3, идеал р = (Зх, х2, х3) простой, но р2 = = (9х2, Зх3, х4, х5, х6) не примарный, потому что
9 ? х2 = 0 (р2), х2=?0(р2),
9рЕ?0(р2)
для каждого р.
Свойства примарных идеалов, не зависящие от теоремы о цепях делителей
1. Для каждого примарного идеала q существует простой идеал р, делящий его и определяемый следующим образом: р является совокупностью тех элементов Ь, для каждого из которых некоторая степень 6Р принадлежит д.
Доказательство. 1. Множество р —идеал, потому что из Ь° = 0 (а) следует, что (гЬ)р = 0 (ч), и из Ь° = 0 и с0 = 0 следует (ввиду того, что в выражении (6 —с)р+ог“1 после раскрытия скобок каждое слагаемое содержит либо Ь° либо с°) сравнение
(й_с)рю-1 = о(д).
2. Идеал р прост, потому что из
ИЬ 0(0), а =? 0 (р)
следует, что существует р, дтя которого
арЬр == 0 (р)
арЕ?0(<1).
Следовательно, нужно взять такое о, что
6рст = 0(ч).
Отсюда следует, что
Ь^0(р).
3. Идеал р является делителем идеала д:
4 = 0 (р);
432
ОБЩАЯ ТГОРИЯ ИДЕАЛОВ КОММУТАТИВНЫХ КОЛЕЦ
[ГЛ XV
в самом деле, элементы из с|, конечно, таковы, что некоторые их степени лежат в я-
Идеал т называется простым идеалом, ассоциированным с при-марным идеалом а; идеал же я называют ассоциированным с идеалом V примарным идеалом. Из определения примарного идеала следует:
II. Если аЬ ~ 0 (я) и 0 (я), то Ъ = 0(р).
В некотором смысле обращение этого предложения таково:
III. Пусть р и я — идеалы, обладающие следующими свойствами:
1) из аЬ = 0 (я) и а^ёО(я) следует, что Ь 0(р);
2) я = 0 (р);
3) из Ь = 0 (р) следует, что Ь’ = 0 (я) для некоторого р; тогда идеал я примарный, а р — ассоциированный с ним простой идеал.
