Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
идеала. Идеал, порожденный этими произведениями аЬ, называется
произведением идеалов а, Ь и обозначается через а-Ь или аЬ. Он
состоит из всевозможных сумм 2 а&1 (а1 е а> е Ь).
Очевидно, что
а • Ь = Ь - а,
(а • Ь) • с = а • (Ь • с);
следовательно, с произведениями идеалов можно обращаться так же, как с обычными произведениями чисел. В частности, имеет смысл говорить о степени ар идеала а; она определяется так:
а1 = а; ар+1 = а-ар.
Если а = (аъ ..., ап) и Ь = (Ьъ ..., Ьт), то, очевидно, произ-
ведение аЬ порождается произведениями а$к. Таким образом, мы получаем некоторый базис произведения, умножая все базисные элементы одного идеала-сомножителя на все базисные элементы другого идеала-сомножителя.
В частности, для главных идеалов имеет место равенство
(а)-{Ь) = (аЬ).
Таким образом, для элементов кольца с произведение, которое только что было определено, совпадает с обычным произведением.
Произведение а • (Ь) произвольного идеала и главного идеала состоит из всех произведений аЬ, где а пробегает множество элементов из а. В этом случае пишут просто лЬ или Ьй.
Следующее правило — «закон дистрибутивности для идеалов»:
«•(Ь, с) = (а-Ь, а-с). (1)
Вот его доказательство. Произведение а ? (Ь, с) порождается произведениями а(Ь-\-с), которые в силу равенства
а (Ь -)- с) = аЬ + ас,
§ 116] ПРОИЗВЕДЕНИЯ И ЧАСТНЫЕ ИДЕАЛОВ 427
принадлежат идеалу (а - Ъ, а-с); наоборот, идеал (а-Ь, а-с) порождается произведениями аЬ и произведениями ас, принадлежащими идеалу а • (Ь, с).
Правило, такое же, как (1), имеет место и тогда, когда в скобках вместо Ь, с стоят несколько или даже бесконечное множество идеалов.
Так как все произведения аЬ лежат в а, то справедливо включение
аТеа
и точно так же
а • Ь Е Ь.
Отсюда следует, что
а-1щ=[а, Ь],
или: произведение делится на наименьшее общее кратное.
В кольце целых чисел произведение наименьшего общего кратного и наибольшего общего делителя двух идеалов а и Ь равно произведению дК Это справедливо не в любом кольце. Однако в общем случае имеет место соотношение:
[а П (>]•(«> Ь)еаЬ. (2)
Доказательство.
[я П Ь] - (а, Ь) = ([а П Ь] - а, [а П Ь] ? Ь) ? (Ь ? а, а-6) = а-Ь.
Идеал о, состоящий из всех элементов рассматриваемого кольца, называется единичным идеалом. Разумеется, справедливо включение
а•о Е а.
Если же о содержит единичный элемент е, то имеет место и обратное включение
« = Л-еЕ(1'0.
Таким образом,
д-о = д.
Тем самым идеал о играет в рассматриваемой ситуации роль единичного элемента относительно умножения. Он порожден в этом случае единичным элементом кольца.
Всегда выполнены следующие равенства:
(а, о) = о; а |~ц> = а.
Под частным а : 6, где а — некоторый идеал, мы подразумеваем совокупность тех элементов у из о, для которых
уЬ=гО(а) при всех Ь из Ь. (3)
Эта совокупность является идеалом, потому что если у и б обладают свойством (3), то и элемент у — б обладает этим свойством,
428
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ КОММУТАТИВНЫХ КОЛЕЦ [ГЛ. XV
и если свойством (3) обладает элемент у, то им обладает и любое произведение гу. При этом предполагается, что а —идеал; относительно Ь такое предположение не обязательно: множество Ь может быть произвольным и даже состоящим из одного-един-ственного элемента.
Если а и Ь — идеалы, то из определения следует, что
Ь•(л : Ь) <= л.
В кольце целых чисел конструкция частного двух главных идеалов (а), {Ь)ф 0 проводится так: множители, участвующие в разложении числа а и делящие Ь, отбрасываются; например,
(12): (2) = (6),
(12): (4) = (3),
(12): (8) = (3),
(12): (5) = (12).
Иначе говоря: число а делится в обычном смысле на наибольший общий делитель (а, Ь).
В кольцах общего вида выполняется соответствующее этому наблюдению правило:
л : Ь = л : (л, Ь),
которое легко доказывается, но не является особенно важным.
Очевидно, имеет место включение л ^ (л: Ь), так как каждый элемент из л обладает свойством (3). Таким образом, есть два крайних случая:
л:Ь = о и л:Ь = л.
Первый случай встречается, когда Ь ?= л, потому что тогда для каждого у выполнены сравнения
уЬ = О (Ь) = 0 (л).
Второй случай встречается, когда из уЬ = 0 (л) следует, что у г= ==0(д). Тем самым сравнение уЬ==0(д) можно тогда делить на И В этом случае говорят, что идеал Ь прост относительно л; мы, однако, редко будем употреблять этот термин, который может привести к путанице, а будем писать д:Ь = д. В случае целых чисел а и Ь, отличных от нуля, утверждение:
из уЬ == 0 (а) следует у = 0 (а),
справедливо, очевидно, лишь тогда, когда а и Ь ие имеют общих множителей. В более общих случаях предикат «прост относительно» не симметричен; например, если л —простой идеал, а Ь — отличный от о идеал, являющийся собственным простым дели-
§ П7]
ПРОСТЫЕ ИДЕАЛЫ И ПРИМАРНЫЕ ИДЕАЛЫ
429
телеы идеала л, то
а : Ь = а и 6 прост относительно а,
но
0:а = о и а не прост относительно Ь.
Например,
(0): (2) = (0), (2) : (0) = (1).
Важным является следующее соотношение:
[аь .... аг]:Ь = [а1:Ь, .... аг:Ь]. (4)
Доказательство. Из
уЬ = [аг, а,]
следует, что
уЬ ^ аг для каждого г,
