Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Глава пятнадцатая
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ КОММУТАТИВНЫХ КОЛЕЦ
В этой главе мы рассмотрим свойства делимости'идеалов коммутативных колец и попытаемся перенести некоторые простые теоремы, имеющие место в области целых чисел, на кольца общего типа. Чтобы не сталкиваться с лишними трудностями, целесообразно ограничиться кольцами, в которых каждый идеал обладает конечным базисом; этот случай, как мы увидим, встречается очень часто.
§ 115. Нётеровы кольца
Мы говорим, что в кольце о справедлива теорема о базисе, если каждый идеал в с обладает конечным базисом. Коммутативные кольца, в которых выполняется теорема о базисе, называются нётеровыми.
Теорема о базисе имеет место в любом теле, потому что там есть лишь идеалы (0) и (1) Она имеет место и в кольце целых чисел и, говоря более общо, в любом кольце главных идеалов. Кроме того, она справедлива в любом конечном кольце. Позднее мы увидим, что теорема о базисе имеет место в факторкольце г/а, если она имеет место в самом кольце г. Наконец, справедливо следующее предложение, восходящее к Гильберту:
Теорема. Если теорема о базисе выполняется в кольце г, содержащем единичный элемент, то она выполняется и в кольце многочленов с [а].
Доказательство. Пусть 51 — произвольный идеал в о[*]. Коэффициенты при старших степенях переменных х в многочленах из идеала 51 вместе с нулем составляют некоторый идеал в о, потому что если аир — старшие коэффициенты в многочленах а и Ь:
а — ахп -ф ..., b = $хт + . • •,
то, скажем, при ti 3s т
а — Ьхп~т = (ахп +...) — ($хп + ...) = (а — Р) хп + ...
— вновь некоторый многочлен из 51 и а — р — старший коэффициент или нуль. Точно так же, если а —старший коэффициент многочлена а, то Ка — либо старший коэффициент многочлена Ка, либо нуль.
422
ОБЩ\Я ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ КОММУТАТИВНЫХ КОЛЕЦ
[ГЛ. XV
Согласно условию идеал а старших коэффициентов имеет некоторый базис («!, аг)\ будем считать, что — старший коэффициент многочлена
= щх"1 + ...
степени п, И пусть Л — наибольшее ИЗ чисел Л,-.
Включим многочлены аг в конструируемый базис идеала 31. Посмотрим, какие еще многочлены необходимо включить в этот базис.
Если
! = ах"+ ...
— произвольный многочлен из *Л степени N^4, то элемент а должен принадлежать идеалу а:
а = 2 кы.
Построим многочлен Коэффициент при хы в этом многочлене равен
а — 2 = 0.
Таким образом, многочлен /у имеет степень, меньшую N. Следовательно, / можно заменить по модулю (аъ ..., а,) многочленом меньшей степени. Мы можем таким путем понижать степень, пока она не станет меньше л. Поэтому достаточно ограничиться многочленами степеней, меньших п.
Коэффициенты при хп1 в многочленах степени «?л — 1 из Л, объединенные с нулем, составляют некоторый идеал а,^; пусть
(осл+і, . . . , 0^)
— базис этого идеала, и агі1 — старший коэффициент многочлена
СІГ і " ССг+(Хп ф- ...
Включим теперь в базис и многочлены аг^, ..., а5. Тогда любой многочлен степени л — 1 можно заменить по модулю (ат, ..., щ) многочленом степени *-<л — 2; для этого, как и раньше, нужно из данного многочлена вычесть подходящую линейную комбинацию
2 ^“г •
Продолжим намеченную конструкцию. Коэффициенты при хп 3 в многочленах степени ^ л — 2 вместе с нулем составляют идеал ля_2, базисные элементы ат, ..., щ которого соответствуют многочленам а5,ъ ..., щ. Эти многочлены мы также включим в базис. В конце концов придем к идеалу а0, состоящему из констант,
§ 115] НВТЕРОВЫ КОЛЬЦА 423
лежащих в 51; базис этого идеала (аЩц, а№) приводит к многочленам а,+1, ат. Таким образом, каждый многочлен из 51 приводится к нулю по модулю
(^1> ? • • » О-ГУ &Г+11 • • • ) • • • » Я»-Ц> . . . , йда).
Следовательно, многочлены аъ .... ат составляют базис в 51, чем и завершается доказательство теоремы о базисе.
Из этой теоремы с помощью п-кратного повторения сразу получается обобщение:
Если теорема о базисе имеет место в кольце о с единицей, то она справедлива и в кольце многочленов о [хъ ..., хп] от конечного множества переменных хи ..., хп.
Наиболее важные частные случаи: кольцо целочисленных многочленов Ъ [х1у ..., хп] и любое кольцо многочленов К [хг, ..., хп] с коэффициентами в поле К. Все эти кольца нётеровы.
Гильберт высказал свою теорему только для этих случаев, но в более общей, на первый взгляд, формулировке:
В любом подмножестве ЭЛ кольца о (не только в любом идеале) существует такой конечный набор элементов тг, ..., тг, что любой элемент т из ЭЛ представляется в виде
*К]П%у -{— • • • 'Кгтг (Х[ 6Е: о).
Эта теорема является, однако, непосредственным следствием теоремы о базисе для идеалов. В самом деле, если 51 — идеал, порожденный множеством ЭЛ, то 51 обладает базисом:
51 = (аи ..., а1).
Каждый элемент а1 (как элемент идеала, порожденного множеством ЭЛ) выражается через конечный набор элементов из ЭЛ;
к
Следовательно, все элементы из 51 линейно зависят от конечного набора элементов т1к\ в частности, это относится и к элементам из ЭЛ.
Более важным является то обстоятельство, что теорема о базисе эквивалентна следующей «теореме о цепях делителей»:
Теорема о цепях делителей. Первая формулировка. Если а1( а2, С13, ... — цепочка идеалов кольца о и щ+1 — собственный делитель идеала ар
