Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
= (г=1............т)
1
с целыми числами а^ и ф приводится с помощью унимодулярного преобразования неизвестных !) и уравнений к виду
еН1; = 7; (»=•.........П чФО),
0 = бу (/ = г+ 1, , т).
Условия разрешимости этой системы в целых числах выглядят так:
У( = 0(6(); 6;=0.
Неизвестные т)( при ( г определенные, а остальные т)у — свободные. Неизвестные представляют собой целочисленные линейные функции свободных неизвестных Т|/.
§ 86. Основная теорема об абелевых группах
Пусть © — произвольная абелева группа с конечным числом образующих, записанная аддитивно, т. е. некоторый модуль. Если задана область мультипликаторов ЗЯ для группы ©, то мы предполагаем, что в ЗЯ существует единичный элемент, являющийся одновременно единичным оператором; если же область мультипликаторов не задается, то мы считаем, что таковой служит кольцо целых чисел, которое удовлетворяет указанному условию. В этом параграфе мы записываем операторы слева от элементов модуля.
Пусть сначала © — циклический ЗЯ-модуль: © = (?). Множество элементов р из 5Я, аннулирующих ц, составляет левый идеал а кольца ЗЯ: из Р1? = 0 и р2? = 0 следует, что (Р1 —р2)? = 0, и из р? = 0 следует, что хр? = 0 для каждого х из ЭЕ Каждому % из ЗЯ соответствует элемент и, так как
(*. + Ц)? = *? + №
Яр-? = Л-р?,
это сопоставление является операторным гомоморфизмом над ЭЕ Отсюда по теореме об изоморфизме следует, что
© ^ 9Я/а,
или произвольный циклический ЗЯ-модуль © изоморфен модулю классов вычетов кольца ЗЯ по аннулирующему модуль © левому идеалу.
Для случая обычной циклической группы © мы получаем отсюда заново следующий результат: группа © изоморфна аддитивной группе целых чисел или группе классов вычетов по некоторому целому числу. Если п > 0 — порождающий элемент идеала
!) Преобразование называется унимодулярным, если оно имеет целые коэффициенты и определитель ± 1.
304 ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ИЛ XII
а, то п является порядком циклической группы (g), а также порядком элемента g.
Доказанная выше теорема справедлива независимо от специальных предположений о кольце 5Й. Если же кольцо 'Д коммутативно и евклидово, как это будет предполагаться в дальнейшем, то к сказанному можно кое-что добавить. Идеал а является в этом случае главным: л = (а). Считая, что а =4 0, разложим, если это возможно, а на два взаимно простых множителя:
а = р а,
1 = А.р -f- ра,
и построим циклические группы ©i = (pg) и ©2 = (ag). Тогда ©j аннулируется элементом сг, а ©2 — элементом р. Поскольку
g = Xpg + nag,
группа © является суммой и ©2. Пересечение ©xn©2 аннулируется элементами р и а, а потому и элементом 1 = Ар + рсг; поэтому ©1П@2 = (0) и указанная сумма является прямой:
© = ©1 ©V
Если о и р в свою очередь разлагаются в произведение взаимно простых сомножителей, то ©J или @2 разлагаются в прямую сумму дальше. В конце концов циклическая группа © станет прямой суммой таких циклических групп, которые аннулируются степенями простых чисел1). Произведение этих степеней простых чисел равно а. Для групп с таким свойством будем употреблять термин «примарные группы»2).
Мы переходим теперь к общему случаю, когда © является Ш-модулем с конечным числом порождающих gx, ..., gn и, следовательно, элементы из © имеют вид
^lgl + • • •JT^ngn-
Если построить на переменных иъ ..., и„ модуль линейных форм
30! = (Mj, ..., ип),
то каждой линейной форме ^ из 30? сопоставится элемент 2 Xigi из @. Это сопоставление вновь является гомоморфизмом модулей, и из теоремы о гомоморфизме следует, что
@^ад,
*) «Простое число» — краткий синоним выражения «простой элемент кольца 9Ъ. В случае обычных абелевых групп это понятие совпадает с обычным понятием простого числа.
2) В оригинале «Primzahlpotenzgruppen».—Прим. перед.
ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА ОБ АБЕЛЕВЫХ ГРУППАХ
305
где 9? — подмодуль, СОСТОЯЩИЙ ИЗ тех линейных форм 2 ДЛЯ
которых 2 ^‘81 = 0-
Мы опять предположим кольцо Ш евклидовым. Согласно § 85 в модулях 9? и ЭЛ можно ввести новые базисы (ух, ..., от) и (и'и ..., и’п)(пт), для которых
VI = ещ,- при 1 = 1, ..., т,
8,41 = 0 (е,).
Элементам и' соответствуют (в силу указанного выше гомоморфизма) элементы /г,, /г„ модуля Все элементы из @ имеют
вид +... + р„/гп и любой такой элемент равен нулю тогда и только тогда, когда
РтП1 “Ь • ? • ~Ь = 0 (1*1, . . ., Пт), т. е. тогда, когда
Р1 = 0 (б1), Рт+1 — 0,
Рт — 0 (8т), р„ — 0.
Это означает, что сумма р^ +... + рпНп только тогда равна нулю, когда нулевым является каждое ее слагаемое, а слагаемое равно нулю, если его коэффициент рг делится на е, при 1 = 1, ..., т и равен нулю при 1' = /и + 1, ..., п.
Вот другое выражение этого факта:
Группа © является прямой суммой циклических групп • ? • + Фп) и аннулирующим идеалом подгруппы (/ц) служит
(е() для 1 = 1, ..., т,
(0) для / = /п + 1, ..., п.
Такова основная теорема об абелевых группах с конечным числом порождающих элементов.
В случае обычных абелевых групп числа | е(-1 являются порядками циклических групп (к,), ..., (кт), а группы (кт+1), ..., (к„) имеют бесконечный порядок.
Три дополнения следует сделать к доказанной теореме:
