Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
целочисленными решениями %к ИЛИ нет.
Теорема об инвариантных множителях. Если 91—
подмодуль модуля линейных форм 99Ї, то существует такой базис
(«!, и„) в Ш и такой базис (о1, ..., ют) в 91, что
Уі = иі&і,
єі+і = 0 (є,). И
Доказательство. Будем исходить из произвольного базиса (иъ ..., и„) модуля 9Д и произвольного базиса («и ..., от) модуля 9Ї. Пусть
у* = 2 ща1к. (2)
С помощью матричного способа записи вместо (2) можно записать
К Ут) = («1. Д. (3)
Мы хотим с помощью последовательных изменений базисов привести матрицу А к желаемой диагональной форме:
Єї 0 . . 0
0 е2 . . 0
0 0 .. • ет
0 0 .. . 0
(4)
Допустимые изменения базиса при этом таковы:
1. Перестановка двух форм и или двух форм о, что влечет за собой перестановку двух строк или двух столбцов матрицы А.
2. Замена одной из форм щ на форму щ-\-и/Х (/=/=0; при этом из /-й строки матрицы А вычитается !-я строка, умноженная слева на X:
Ук-
?? 2] ща1к = («; -|- и^) а1к -(-... + щ (а/к — Хац,)
3. Замена любой формы ик на ик~и;Х ЦфЕ)', при этом из &-го столбца матрицы А вычитается /-й столбец, умноженный справа на X:
ок - о,Х = ^ и1 (а‘ь ~ ай'к)'
МОДУЛИ НАД ЕВКЛИДОВЫМИ КОЛЬЦАМИ
301
Будем преобразовывать матрицу А с помощью операций 1, 2, 3 до тех пор, пока нельзя будет уменьшить абсолютное значение наименьшего из отличных от нуля элементов матрицы А. С помощью операции 1 мы можем добиться того, чтобы наименьший элемент матрицы, отличный от нуля, занял место аи. С помощью операции 2 сделаем так, чтобы были предельно уменьшены остальные элементы первого столбца; для этого нужно вычитать подходящие кратные первой строки из последующих строк. Получится, что абсолютные значения элементов первого столбца меньше, чем | ап |, т. е. они равны 0. Точно так же заменяются нулями элементы первой строки (преобразования типа 3) без изменения элементов первого столбца. После этих операций все элементы матрицы должны делиться на ап. Если бы это было не так, то какой-то элемент, скажем, а1к, не делился бы на аи и тогда на основании алгоритма деления имело бы место равенство
а« = ацР + 7, УФ 0, в(у)<в(ап).
Прибавим сначала с помощью операции 2 первую строку к /-й и вычтем затем с помощью операции 3 из &-го столбца первый, умноженный на (5; тогда на месте (/й) появится элемент у, для которого g{y)<Cg («и), что противоречит минимальности элемента аи.
Теперь матрица выглядит так:
а„ 0 . .. 0
0 А'
0
где все элементы из А' делятся на аи. С помощью последующих операций нужно изменить первый столбец и первую строку матрицы А' точно так же, как это делалось с матрицей А. При этом не будет утрачена делимость каждого из элементов в А' на аи. В конце концов А' примет вид
ааа 0 ... 0
0
А"
0
где все элементы из А" делятся на а22. Продолжая таким образом, мы через гп шагов получим искомую нормальную форму (4). Случай, когда одна из матриц А, А', А", ... состоит сплошь из нулей, исключается, потому что иначе некоторые из элементов ок были бы равны нулю, тогда как на каждой стадии описанного процесса элементы V составляют базис модуля 91. Теорема доказана.
302
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
[ГЛ XII
Замечания. 1. Операции 1 — 3 всегда осуществляются умножением матрицы А слева или справа на некоторые обратимые матрицы над кольцом 24. Если ввести новые базисы
(«; ... и’п) = (и1 ... ип)-В и {о[ ... Vм) = (v1 ... от) ? С,
то
(о; ... От) = («1 ... vn)C = {u1 ... ит) АС=(и[ ... и'п) В-1 ЛС.
Теорема об инвариантных множителях равнозначна, таким образом, утверждению о существовании обратимых матриц В, С, для которых В*1 АС — матрица вида (2).
2. Преобразование матрицы А тем же самым методом удается и тогда, когда элементы о не составляют линейно независимой системы; только в этом случае одна из матриц А, А', А", ... окажется нулевой и мы получим вместо нормальной формы (4) форму более общего вида,
81 0
В-1АС =
0
(5)
где г —ранг матрицы А. Соотношения делимости между элементами е; остаются теми же.
3. Миноры к-го порядка преобразованной матрицы П = В_МС являются линейными функциями миноров матрицы А и, аналогично, миноры матрицы А = ВОС~1 являются линейными функциями миноров матрицы О. Следовательно, наибольший общий делитель б* миноров &-го порядка матрицы А отличается обратимым множителем от наибольшего общего делителя миноров &-го порядка матрицы О. Но для П легко подсчитать, что
6* = ехе2... е* (& < г),
так что
6* = 8*_1е* (1 <?«?/-). (6)
Элементы б* называются детерминантными делителями матрицы А, а ек — инвариантными множителями матрицы А. Из (6) следует, что инвариантные множители являются отношениями двух последовательных детерминантных делителей.
4. Тот факт, что инвариантные множители ек однозначно определяются матрицей А с точностью до обратимого множителя, будет иным путем получен в следующем параграфе, где показывается, что инвариантные множители (если только они не обратимы) зависят лишь от фактормодуля ЯЯ/94, который в свою очередь определяется, конечно, матрицей А.
ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА ОБ АБЕЛЕВЫХ ГРУППАХ
303
Задача 3. Каждая система линейных диофантовых уравнений п
