Теория функций комплексной переменной - Свешников А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Обратимся теперь к интегралу (1), в котором подынтегральная функция является аналитической в области 3 комплексной плоскости z. Этот интеграл также может быть приближенно вычислен через максимальное значение модуля подынтегральной функции с поправкой на быстроту ее убывания на контуре интегрирования. Если путь
МЕТОД ПЕРЕВАЛА
251
интегрирования, соединяющий точки Z1 и Z2, таков, что на небольшом его участке абсолютная величина подынтегральной функции достигает наибольшего значения, а затем быстро спадает, то естественно предположить, что найденная величина дает хорошее приближение. Так как функция f(z) является аналитической в области J1, то в силу теоремы Коши значение интеграла (1) определяется лишь заданием начальной Z1 и конечной Z2 точек пути интегрирования, а не видом кривой С. Отсюда следует, что для заданного интеграла (1) возможность его приближенного вычисления с помощью рассматриваемых методов связана с возможностью выбора такого контура интегрирования, чтобы он удовлетворял указанным выше требованиям. Нас интересуют значения интеграла (1) при больших положительных значениях параметра X, стоящего в показателе у экспоненты. Поэтому естественно ожидать, что основной вклад в значение интеграла дадут те участки пути интегрирования, па которых функция и (х, у) — действительная часть функции f(z) = и (х, у) -ф- iv (х, у) — достигает наибольших значений. При этом следует иметь в виду, что функция и (х, у), являясь гармонической в области не может достигать абсолютного максимума во внутренних точках этой области, т. е. внутри области Э нет точек, в которых функция и (х, у) возрастала бы или убывала по всем направлениям. Поверхность функции и (х, у) может иметь лишь седловые точки*).
Пусть точка Z0 = X0-f- Zy0 является единственной седловой точкой поверхности и (х, у) в области 5. Рассмотрим линии постоянных значений и (х, у) = и (х0, у0) = const функции и(х, у), проходящие через эту точку. В силу принципа максимума для гармонических функций **) эти линии не могут образовывать замкнутых кривых (мы не рассматриваем тривиальный случай /= const в $>), т. е. они либо упираются в границу области 5, либо уходят на бесконечность в случае неограниченной области. Кривые и(х, у) = и(х0, у0) разбивают область Э на секторы, внутри которых значения функции и(х, у) соответственно или меньше, или больше значения гг (-V0, у0). Первые секторы будем называть отрицательными, вторые — положительными.
Если граничные точки Z1 и Z2 кривой интегрирования лежат в одном секторе и функция и (х, у) принимает в этих точках различные значения, то, очевидно, можно так деформировать контур, чтобы на нем функция и(х, у) изменялась монотонно. При этом основной вклад в значение интеграла дает окрестность той граничной точки, в которой значение функции и(х, у) наибольшее. То же положение имеет место и в том случае, когда точки Z1 и Z2 лежат одна в положительном, а другая в отрицательном секторах. Метод перевала применяется в том случае, когда точки Z1 и Z2 лежат в различных отри-
*) Определение седловой точки поверхности см. вып. 2. стр. 137. **) См. А. Н. Тихонов, А. А. С а м а р с к и й, Уравнения математической физики, «Наука», 1972.
252
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
цагельных секторах, что дает возможность выбрать такой контур интегрирования, проходящий через седловую точку х0, у0, на котором значение функции и (х, у) является максимальным в точке х0, у0 и быстро спадает по направлению к граничным точкам. Очевидно, в этом случае основной вклад в значение интеграла (1) будет давать малый участок в окрестности седловой точки, причем последний можно выбрать тем меньше, чем быстрее спадают значения функции и (х, у) вдоль кривой интегрирования. Метод перевала также иногда называется методом наибыстрейшего спуска. Эта «альпинистская» терминология, очевидно, связана с топографией поверхности функции и (х,у) в окрестности ее седловой точки. Мы ограничимся здесь этими вводными замечаниями, а сейчас проведем оценку точности метода, при помощи которого была получена асимптотическая формула (6). При этом будет установлен ряд положений, лежащих в основе метода перевала.
2. Метод Лапласа. Докажем ряд вспомогательных положений, лежащих в основе так называемого метода Лапласса асимптотической оценки интегралов от функций действительной переменной.
Лемма 1. При р >¦ О и Л->оо имеет место асимптотическая формула *)
А I _d\
'\ хР^е-Чх = Г (р) + О [е 2 j ¦ (7)
о
Доказательство. Оценим при р >¦ 1 интеграл **)
со со (А
\ е~ххр-Чх = е-А \ е-У (у + A)P-1 dy < е~А H (2A)p'1e^dy +
АО Уо
OO
+ J (2уу-1<гЧу) = е-* {(2Л)"-1 (1 - е-А) + 2P-T (р)}. (8)
о
Отсюда при Ap<ZeA!i и следует (7).
В дальнейшем большую роль будут играть интегралы вида
а
ф (X) = $ ср (t) e-ltl dt, О < а < со.
—а
Имеет место следующая лемма.
*) Символ О (t2) или, более общо, О (t") в разложении вида ср (t) = п — і
— 2 cktkУ") означает, что при і ? | sg 6 имеет место равномерная оценка
k = о
п — 1
Ф(0- E c„t"
k = 0
<.C't", где С —постоянная.
*) При О < р sc 1 ( е~ххР-Ых s? і e-xdx--A А
