Теория функций комплексной переменной - Свешников А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
**) Рассматриваемый метод не зависит от порядка дифференциального оператора L, так же как и Р, однако для большей наглядности изложения и ввиду особой важности для приложений мы ограничимся случаем оператора L второго порядка.
***) Рассматриваемый метод может быть применен и в том случае, когда а = —со или Ь= + со или одновременно а = —со, 6 = +со.
248 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [ГЛ. 8
и граничным условиям
Cc1J (а, 0+ Pi« (а, *)=\М'). «2? (ft, 0 + РїИ(*, О = Ы0-
Будем предполагать, что начальные и граничные условия задачи, а также функция /(jc, /) таковы, что существуют изображения Лапласа по t функции и(х, t) и всех ее производных, входящих в уравнение (8.116):
со 00
«(je, t) = U(x, p) = \e-ptu(x, t)dt, [e-pip(x, t)dt (8.117)
6 X 'о X
и т. д., причем предположим, что условия ограниченности степени роста по t функции и(х, t) и ее производных не зависят от х. Тогда в силу равномерной сходимости по параметру х интеграла (8.117) получим
ди , ,. . dU , . дЧ . ,. . O2U, . дх '> ^ дх~ (*' Ш (*> V ^дх*(Х>
и
(х, t)=pkU (х, р) - /-і Фо (X) - pk-* ф1 (X) -... - Ф/г_х (х).
Кроме того, предположим, что существуют изображения по t функций f(x, t), Ip1 (t) и гр2 (t):
f(x, t) = F (X, p), Op1 (0 = W1 (p), гр2 (0 === W2 (p).
Тогда, перейдя в уравнении (8.116) к изображениям, получим обыкновенное дифференциальное уравнение по независимой переменной х для функции U (х, р):
-Pn(P)O(р)+L2[U(X, р)} = -F(x, P)-F0(X, р), (8.118)
где
п — 1
F0(X, р)= 2 р& О7) Фп-ft-i (х)>
k = о
а полиномы Рк(р) определяются формулой (8.93).
Уравнение (8.118) надо решать с граничными условиями
CC1C/, («, P)+ W (a, P) = W1(P),
a2Ux (b, p) + $2U (Ь, р) = W2 (р). (8.119)
Краевая задача (8.118), (8.119), в которой р играет роль параметра, решается обычными методами решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений *). Обратный переход от изображения U (х, р) к решению исходной задачи может быть произведен с помощью формулы обращения (8.67).
*) См. вып. 3, стр. 159.
ПРИЛОЖЕНИЕ I
МЕТОД ПЕРЕВАЛА
Метод перевала широко применяется для построения асимптотических разложений *) некоторых контурных **) интегралов от функций комплексной переменной. Мы будем рассматривать интегралы вида
F(k) = l<f(z)eHWdz, (1)
с
где (f(z) и /(г) —функции комплексной переменной г, аналитические в некоторой области 3, содержащей кривую С, которая может быть и неограниченной; Я —большое положительное число. Будем предполагать, что интеграл (1) существует, и поставим своей целью получить асимптотическое разложение функции F(X) по обратным степеням параметра X. С интегралами типа (1) часто приходится встречаться при исследовании интегральных представлений ряда специальных функций, а также при решении многих задач математической физикц и других разделов математики.
1. Вводные замечания. Начнем с некоторых наводящих соображений. Рассмотрим интеграл, определяющий гамма-функцию Эйлера ***)
OO
Y(p+\) = \xpe-xdx, (2)
о
и попробуем найти для него приближенное выражение при больших положительных значениях р. Заметим, что, представив хр = ер1пх, мы
*) Напомним, что асимптотическим разложением функции f (х) в окрест-
N
ности точки х0 называется представление вида /(*) = ^ akfk M + 0 (ф-V (*))>
k = і
где ak — постоянные коэффициенты, а функции фд, (х) при х-—ха удовлетворяют условию ц>к+1 (х) = о (ф4 (х)) (подробнее об асимптотических разложениях см. вып. 2, стр. 556).
**) Следуя установившейся терминологии, мы здесь под контуром интегрирования понимаем не обязательно замкнутую кривую. ***) См. вып. 2, стр. 434.
250
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
приведем рассматриваемый интеграл (2) к виду (1). Подынтегральная функция в (2) стремится к нулю при X —>- 0 и X —*¦ со. Поэтому величина этого интеграла в основном определяется значением подынтегральной функции в окрестности ее максимума. Преобразуем подынтегральную функцию к виду
хРе-х = ер\пх-х==е! U)- (3)
Максимальное значение функции f(x) достигается при х=р, причем
f(p)=p\np-p, f(x)\x = p = Q,f"(x)<x=p = -1. (4)
Разложив функцию f(x) в o-окрестности точки х=р в ряд Тейлора и, ограничившись первыми членами разложения, получим
P + o 1 , ,, р+ 6 (x-pV
r(,-fl)~S ерХар-р-Ъ(х-р)-dx^p'e-' \ е--W~dx~
р — б P — б
со _ (¦V — P)-
^pPe-" jj е 2P dx. (5)
— со
Приближенные равенства имеют место вследствии того, что подынтегральная функция при \ х— р ]^>8 мала и быстро стремится к нулю. Сделаем в интеграле (5) замену переменной интегрирования, положив
Y 2р(Х~~Р) = у- Тогда
СО
Г (р + 1) ~ V1Tp рРе-Р \ e-y'-dy = V7InJ! P-J. (6)
— со ^
Формула (6) и дает приближенное выражение интеграла (2) при больших значениях р. Как будет показано ниже, она представляет собой первый член асимптотического разложения интеграла (2). Эта формула часто называется формулой Стирлинга.
При выводе этой формулы мы не оценивали точность сделанных приближений, поэтому наши рассмотрения носят лишь иллюстративный характер. В дальнейшем будет проведена оценка точности формулы (6), а сейчас сделаем еще несколько замечаний, позволяющих легче понять основную идею метода перевала. Формула (6) выражает приближенное значение интеграла (2) через значение подынтегральной функции в точке ее максимума (рре-р) и некоторый дополнительный множитель, соответствующий длине того отрезка интегрирования, па котором значение подынтегральной функции достаточно близко к максимальному.
