Теория функций комплексной переменной - Свешников А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
§ 3] РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 245
Функция \рп_! (t) часто называется функцией единичного точечного источника для уравнения (8.90) и обозначается g(t). Приняв это обозначение, перепишем решение задачи Коши с нулевыми начальными условиями для уравнения (8.88) в виде
t
У (0 = g(t — т) /(т) dx. (8.106)
о
Формула (8.106) носит название интеграла Дюгамеля *). Пример 2. Решить задачу Коши
у"+у = sin t, у (0) =/ (0) = 0.
Найдем функцию g(t):
g" + g^0, ?(0) = 0, g' (0)=1.
Для ее изображения G(p) по формуле (8.95) получим
Отсюда с помощью таблицы изображений находим Q (р) == sin t и тем самым
t
y(t) = Jj sin (t — т) sin тdx = -| (sin t — t cos t).
о
2. Уравнение теплопроводности. Рассмотрим применение операционного метода при решении краевых задач для уравнения теплопроводности па примере распространения краевого режима по полубесконечному стержню.
Пусть требуется найти распределение температуры в полубесконечном стержне 0 <С х <С со, если начиная с момента времени t = 0 на его левом конце х = 0 поддерживается заданный температурный режим. Начальная температура стержня равна нулю. Математическая задача заключается в определении ограниченного для 0^х<оо, t ^ 0 решения и (х, t) уравнения
щ = аЧіхх, х>0, *>0, (8.107)
с дополнительными условиями
и(х, 0) = 0, и(0, t) = q(t), (8.108)
где q (t) — заданная функция времени, которую мы будем предполагать удовлетворяющей условиям существования преобразования Лапласа. Предположим, что искомое решение и (х, t), а также его про-
*) О применении интеграла Дюгамеля в задачах математической физики см. также А. Н. Тихонов, А. А. Самарский, Уравнения математической физики, «Наука», 1972.
246
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [ГЛ. 8
изводные, входящие в уравнение (8.107), удовлетворяют условиям существования преобразования Лапласа по t, причем условия ограниченности степени роста по t функции и(х, і) и ее производных не зависят от х. Тогда получим
и (х, t) -= U (х, р),
щ(х, t)==pU(x, р), (8.109)
UXX (Х, t) = Uxx (X, р).
Вторая из формул (8.109) получена с учетом нулевого начального условия (8.108). Последняя из формул (8.109) имеет место в силу того, что сделанных предположений достаточно для вычисления производных несобственных интегралов, зависящих от параметра, путем дифференцирования но параметру подынтегральных функций *).
Переходя к изображениям, вместо задачи (8.107), (8.108) для функции и (Je, і) получаем краевую задачу для изображения U(x, р):
UxAx, p)-{i U(x, р) = 0, (8.110)
U(0, p) = Q(p), \U(x,p)\<M. (8.111)
Это —краевая задача для обыкновенного дифференциального уравнения, в которой переменная р играет роль параметра. Как легко видеть, решение задачи (8.110), (8.111) имеет вид
U(x, p) = Q (р)е а ¦ (8.112)
Решение и (х, Ї) исходной задачи может быть найдено по его изображению (8.112) с помощью формулы Меллина, однако в случае произвольной функции Q (р) вычисление соответствующего интеграла может привести к значительным трудностям. Поэтому естественно попытаться обойти прямое вычисление интеграла Меллина для определения оригинала функции (8.112). Заметим, что выше мы нашли оригинал для функции (см. пример 4, стр. 230)
Je-^Wr). (8.113)
IVt
Поэтому, представив U(х, p) = Q(p)-p-e\ а J- и учтя, что согласно (8.113)
±е-^'ф1-ф(^гО(Х,Ъ (8.114)
*) См. вып. 2, стр. 416.
§ 3] РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 247
на основании теорем об изображении производной и свертки получим
t
U (х, р) ф и (X, t) = Jj J Q(x, t — x)q (т) dx.
о
Подставив явное выражение (8.114) функции Q(x, t) и произведя дифференцирование, получим выражение решения задачи*) (8.107), (8.108) в виде
t хг
и (х, t) = -^U- Г е~ia'' « - q (т)з f- dx. (8.115)
24 л J (t — т)
о
3. Краевая задача для уравнения в частных производных.
Изложенный в предыдущем пункте метод может быть формально перенесен h на решение краевой задачи для уравнения в частных производных более общего вида. Рассмотрим уравнение
Pn \и (X¦ 01 - L2 [и (X, 0] =/(*, 0, (S-116)
где Pn [и] — линейный дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами вида
п і п дпи , дп~хи . . ди Pn M = fl« д1я + «і ^TFT + -. • + An-x д1;
L2[u] — линейный дифференциальный оператор второго порядка**) вида
I2 [и] = Ь0 (х) + Ьг (х)рх + Ь2 (х) и (х, 0,
коэффициенты bi (х) которого являются функциями лишь одной независимой переменной х; f(x, t) — заданная функция переменных х, t, достаточно гладкая в области решения задачи. Будем искать решение и(х, 0 уравнения (8.116) в области ***) t > 0, а < х <Ь, удовлетворяющее начальным
ди 0"¦'1U
и (X, 0) = ф0 (х), s- (х, 0) = ф1 (х),(х, 0) = ф„_! (х)
*) Заметим, что данное выражение получено в предположении существования решения, тем самым проведенные рассмотрения являются фактически доказательством единственности решения данной задачи в рассматриваемом классе функций. Если заранее не известно существование решения поставленной задачи, то необходимо показать, что формально полученное выражение (8.115) действительно представляет собой решение рассматриваемой задачи.
