Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Свешников А.Г. -> "Теория функций комплексной переменной" -> 88

Теория функций комплексной переменной - Свешников А.Г.

Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексной переменной — М.: Наука, 2004. — 321 c.
Скачать (прямая ссылка): teorfunckomplekperemen2004.djvu
Предыдущая << 1 .. 82 83 84 85 86 87 < 88 > 89 90 91 92 93 94 .. 115 >> Следующая

sin ах і о ,о cos рд: dp,
и изменим порядок интегрирования. Получим
со ___ а со
ену E5_|LL ^ = 2 J cos rf^ (8 ?7)
О OO
Внутренний интеграл в (8.77) легко может быть вычислен *). Он равен
Отсюда
Jj е-'*1 cos ?jc dx = у]/"7 е 4'.
о
*) Например, дифференцированием по параметру. См. вып. 2.
238
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [ГЛ. 8
Положив -у7= = Ц> окончательно получим
F (р) = 1 == 1 — Ф а > О, Rep > 0, (8.78) где функция
Z
Ф(г) = -+=[ е'^сіц (8.79)
V л .)
о
есть так называемая функция ошибок *).
4. Случай регулярной на бесконечности функции. Рассмотрим еще один частный случай, когда определение оригинала для заданной функции F(p) комплексной переменной производится особенно просто. Пусть аналитическое продолжение первоначально заданной в области Rep^>a функции F (р) является однозначной функцией на полной плоскости комплексной переменной р, причем точка р = со — правильная точка функции F (р). Это означает, что разложение функции F (р) в ряд Лорана в окрестности точки р = оо имеет вид
со
F (р) =2%- (8-80)
п = 0
При рассмотрении свойств изображения было отмечено, что \F(p)\ -+0 при Rep-* +со. Поэтому в разложении (8.80) коэффициент с0 равен нулю и
со
р (р) =2%- (8-81)
Легко найти функцию /(t) действительной переменной t, для которой функция (8.81) является изображением.
Теорема 8.6.Если тонка р = оо является правильной точкой функции F (р) и F(oo)=0, то функция F (р) представляет собой изображение Лапласа функции действительной переменной
о, *<о, /(0 = 1 V„ tn (8-82)
п=0
^>0,
где сп суть коэффициенты разложения функции F (р) в ряд Лорана (8.81) в окрестности точки р = оо.
*) Определение и свойства функции Ф (г) см. А. Н. Тихонов, А. А. Самарский, Уравнения математической физики, «Наука», 1972.
§ 2]
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРИГИНАЛА ПО ИЗОБРАЖЕНИЮ
239
Доказательство. Выше было показано, что коэффициенты разложения (8.81) определяются формулой*)
^ ^\ F (P)P^ dp,
Rc
где —окружность \p\ = R, вне которой пет особых точек функции F (р). Так как точка р = со является нулем функции F (р), то
\F(p)\<.^ ПРИ \z\~>R. Поэтому формула для сп даег
I сп [ < MR"-1.
Из этой оценки следует сходимость ряда (8.82). Действительно,
2 Сп-г ;
»1=0
У
! t I»
<
M Y *_*l! = Afc*i
n=0
Отсюда же следует, что в круге любого конечного радиуса ряд (8.82) сходится равномерно, тем самым определяя некоторую целую функцию комплексной переменной t:
/(0 =
« = 0
(Заметим, что функцию f(t), определенную формулой (8.82), мы можем рассматривать' как произведение функции f(t) на единичную функцию Хевисайда O0 (/).)
Умножив функцию /(/) на e~pt и проинтегрировав по t равномерно сходящийся ряд (8.82) почленно, на основании соотношения **)
получим
tn
'«+1 „I —
о=0
-2
"+1 рП-1
2.^""' = F (р),
п'=1
что и доказывает теорему. Пример 5. Пусть
F(P) =
1
(8.83)
(8.84)
Эта функция имеет две особые точки р1>2 = ±і и является однозначной аналитической функцией в окрестности точки о = со, причем в окрестности этой точки, как было показано выше ***), функция F(р)
*) См. стр. 114. **) См. формулу (8.19). ***) См. пример на стр. 121.
240
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
[ГЛ, 8
может быть разложена в ряд Лорана:
со
1 \у)— ?\ 1) 22к (kl)2 р2к+1 '
fe = 0
Поэтому формула (8.83) дает
оо I и \
f2k
Ряд, стоящий справа в (8.85), представляет собой разложение весьма важной специальной функции — так называемой функции Бесселя*) нулевого порядка
ли=
Итак,
iL (k\f •
* = 0
У Р2+1 Заметим, что, представив
1 1
1 (8.86)
р2+1 \fpi+\ iv+i
и воспользовавшись изображением функции sin t (см. формулу (8.22)), на основании теоремы о свертке получим t
J0 (т) (^ — т) ІІТ = sin f\
о
Пример 6. Пусть
F(p) = le".
Эта функция, очевидно, удовлетворяет условиям теоремы 8.6, причем
OO
гс = 1
Тогда
2 l-'T ^2*
1 со со і t і
~ре ?-2/-1)"^=2<-1>*Чй/-в'/о(2^)- (8-87)
H=O
*) Определение и свойства функции Бесселя см. А. Н.Тихонов, А. А. Самарский, Уравнения математической физики, «Наука», 1972.
§ 3] РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 241
§ 3. Решение задач для линейных дифференциальных уравнений операционным методом
В этом параграфе будут рассмотрены применения методов операционного исчисления к решению ряда задач для линейных дифференциальных уравнений.
1. Обыкновенные дифференциальные уравнения. В § 1 мы уже
видели, как с помощью операционных методов можно свести задачу Коши с пулевыми начальными условиями для линейного дифференциального уравнения к простейшей алгебраической задаче для изображения. Рассмотрим более общую задачу Коши:
а0У[П) (О + «іУ{"-1] (О 4- • • • + апу (0 = /(*), (8.88)
У (0) = Уо, У' (0) = Ух, У(ч'1] (0) =Уп-х, (8.89)
где а0, аь аю у0, J1, уп~х ~ заданные постоянные, f(t) — заданная функция независимой переменной t, которую мы будем полагать удовлетворяющей всем условиям существования изображения *). Поскольку задача (8.88), (8.89) является линейной, можно отдельно рассматривать решение однородного уравнения с начальными условиями (8.89) н решение неоднородного уравнения (8.88) с нулевыми начальными условиями.
Предыдущая << 1 .. 82 83 84 85 86 87 < 88 > 89 90 91 92 93 94 .. 115 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed