Теория функций комплексной переменной - Свешников А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Jj є?*F(р)dp -> О, R-+оо, (8.73)
с'к
где Cr — Дуга полуокружности \р — x\ = R в левой полуплоскости. В этом случае интеграл (8.67) может быть вычислен с помощью теории вычетов. Рассмотрим ряд примеров.
Пример 2. Найти оригинал функции F (р) = ^ц2, Rep > О,
со2 > 0. Так как условия теоремы 8.5 выполнены, то
X + /со
FiP)=W = ^ \ e*^dp, х>0.
х — /со
Аналитическое продолжение функции F (р) в левую полуплоскость Rep < 0, функция . " 2 , удовлетворяет условиям леммы Жордана
P і ^
и имеет две особые точки — полюсы первого порядка при /»1>2 = ±гсо. Поэтому при г^О
/(*)= У Выч
2
г ґ.і t r.\oiti)t (ло-iiSit
sin cor, t 0.
* = 1
?Pt p2 + w2 'Pk
2iw 2iu>
Условия теоремы 8.5, в частности условие в), являются достаточными условиями существования оригинала аналитической в области Rep > а функции F (р). Нетрудно привести примеры, показывающие, что, если это условие не имеет место, функция F (р) может все же быть изображением некоторой функции действительной неременной.
Пример 3. Найти оригинал функции F (р) = -^1, —1 <а<0,
Re/?>0. Эта функция является многозначной в рассматриваемой области. Мы будем понимать под функцией F (р) ту ветвь данной многозначной функции, которая является непосредственным аналитическим
§ 2]
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРИГИНАЛА ПО ИЗОБРАЖЕНИЮ
235
продолжением в область Rep > (J действительной функции ^-^действительной переменной X > 0. При этом мы, очевидно, должны считать arg /J = O при р = х, X > 0. Функция F (р) не удовлетворяет условию в) теоремы 8.5. Покажем, однако, что функция
*+<co
ePtimdP> х>°>
(8.74)
x+iR'
является оригиналом заданной функции F (р).
Аналитическое продолжение функции F (р) на левую полуплоскость Rep < 0 является многозначной функцией, имеющей точками разветвления точки р = 0 и р = оо. Будем рассматривать в области представляющей собой комплексную плоскость р с разрезом по отрицательной части действительной оси, ту ветвь
многозначной функции -^ш> которая
является непосредственным аналитическим продолжением функции F (р), первоначально заданной в правой полуплоскости Re/?>0. В области Sf рассмотрим замкнутый контур Г, состоящий из отрезка прямой [х — IR', X A-IR'], х>0, отрезков — R <. <Lx<i — р на берегах разреза и замыкающих их дуги окружности Ср, |/>| = р, и дуг окружности С?, \р — x\ = R', соединяющих берега разреза с вертикальным отрезком [х — iR', x-\-iR'] (рис. 8.3). Так как
функция ept ¦—ri в области Э особых рис g 3_
точек не имеет, то по теореме Коши
интеграл от этой функции по контуру Г равен нулю. Устремим R' к бесконечности, а р к нулю. В силу леммы Жордана интегралы по кривым Сд< дадут в пределе нуль. Оценим интеграл по окружности Cp, положив р = ре'ф:
я
X-iR'
dp
1
2ярс
Так как — 1<к<;0, то интеграл по Ср также стремится к нулю при р -*¦ 0. Тем самым остаются лишь интегралы по прямолинейным участкам контура интегрирования. Заметим, что на нижнем берегу
236 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [ГЛ. 8
разреза arg/? =— л, на верхнем arg/? = л. Поэтому получим
JJ+ К»
—а
dx . + С
,а+i егяа і А
(_ ж)а+1 е-дах |-
5 )
со
= &к1(-Ла)\е-*<х~*-Чх. (8.75)
5
Сделав в интеграле (8.75) замену переменной интегрирования xl = s, получим
/(r) = t«sin (~ лсс)Г(—а). Воспользовавшись равенством *)
Г(— а) Г (1+ a) = ^-7^—г, v /vi/ sin (— лс.)'
окончательно получим формулу
являющуюся обращением формулы (8.18), что и доказывает наше утверждение.
Пример 4. Найти оригинал функции F (р) = ~ е~ауГР, а > О, Re/? > 0. При этом, так же как и в предыдущем примере, мы рассматриваем ту ветвь многозначной функции ]/р, которая является непосредственным аналитическим продолжением в область Re/? > 0 действительной функции Vx действительной переменной X > 0. Напомним, что в этом случае мы должны положить arg/? = 0 при р = х^>0. Аналитическое продолжение функции F (р) в левую полуплоскость Re/?-<0 опять имеет точками разветвления точки /? = 0 и /? = оо. Будем рассматривать область г$ — плоскость р с разрезом вдоль отрицательной части действительной оси. В этой области определена однозначная аналитическая функция 1 е~а^гР> являющаяся непосредственным аналитическим продолжением функции F (р). Отметим, что функция F(p) при Re/?>0 удовлетворяет условиям теоремы 8.5, а ее аналитическое продолжение в области 3і в левой полуплоскости
*) См. вып. 2, стр. 441.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРИГИНАЛА ПО ИЗОБРАЖЕНИЮ
237
Rep < 0 при t > 0 удовлетворяет условиям леммы Жордана. Поэтому, выбрав тот же контур интегрирования Г, что и в предыдущем примере, и заметив, что па верхнем берегу разреза arg/? = л, что дает
. я
р--іеіл = —11 ур^е 2—іу^ а на нижнем берегу разреза
argр = — л, что дает р = \е~ы = — \, Yp = 2 = — 'К І (ё > 0).
получим
х-\- /со
X — /30
(СО GO ¦» _
= „ . M <? 5'—г—dl— \ е f/B + hm -6 . \ е**-dp.
-!"J I Ь J ? р^02л< J P^
I1 О О ) V п.
с P
Так как
го
о_02л( J ре<ч> ' ^
P-0 -я
/(О--± ^-v^L-EJrfg+i.
5
Сделаем в этом интеграле замену переменной, положив ]/| = х, учтем, что
