Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Свешников А.Г. -> "Теория функций комплексной переменной" -> 73

Теория функций комплексной переменной - Свешников А.Г.

Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексной переменной — М.: Наука, 2004. — 321 c.
Скачать (прямая ссылка): teorfunckomplekperemen2004.djvu
Предыдущая << 1 .. 67 68 69 70 71 72 < 73 > 74 75 76 77 78 79 .. 115 >> Следующая

Область течения, ограниченная двумя линиями тока v(x, у) = Сх и V(х, v>) = C2, называется трубкой тока. Так как скорость жидкости в любой точке направлена по касательной к линии тока, то в силу несжимаемости жидкости и станционарного характера движения количество жидкости, протекающее за единицу времени через любые два поперечных сечения .S1 и S2 трубки тока, остается постоянным. Таким образом, разность значений постоянных C1 и C2 определяет расход жидкости в данной трубке тока.
Из условий Коши — Римана и формул (7.33) следует, что компоненты скорости могут быть выражены через частные производные от функции тока:
du dv du до ._ „_ч
"'-Wx-Fr УУ-ду-~дх-
Как было отмечено в гл. 1, комплексное число можно интерпретировать как плоский вектор с компонеы Имеет место очевидное соотношение
, . ди . . ди ди . dv s, , . ,,„.
w = v* + LVy = o-x + ldy=d-x-ldx=f (*)> (7-36)
ПРИЛОЖЕНИЯ К ЗАДАЧАМ МЕХАНИКИ И ФИЗИКИ
193
которое связывает вектор скорости и производную от комплексного потенциала течения.
В гидродинамике существенную роль играют понятия циркуляции и потока вектора скорости. Дадим выражение этих величин через комплексный потенциал течения.
Рассмотрим кусочно-гладкую плоскую кривую С (разомкнутую или замкнутую) и введем на ней векторы дифференциалов дуги ds и нормали dn с помощью соотношений
ds = і dx + j dy, (7.37)
dn = і dy - j dx. (7.38)
Имеет место очевидное соотношение n ds = dn, где п — единичная нормаль к кривой С, a ds—дифференциал длины дуги этой кривой.
При положительном обходе замкнутой кривой С формула (7.38) дает направление внешней нормали.
Потоком вектора скорости v через кривую С (разомкнутую или замкнутую) называется криволинейный интеграл от нормальной составляющей скорости
Nc = \ (V ¦ n) ds. (7.39)
с
Очевидно, этот интеграл определяет количество жидкости, протекающей через кривую С за единицу времени. Интеграл (7.39) запишем в виде
Nc=^ vein= ^Vxdy-vydx=^xdy-^dx=^pxdx + -d-xdy.
CC с с
(7.40)
При определении подъемной силы, действующей со стороны потока жидкости на обтекаемое им тело, большое значение имеет степень завихренности потока, которая характеризуется значением циркуляции. Циркуляцией вектора скорости вдоль кривой С называется криволинейный интеграл от касательной составляющей вектора скорости:
rc = $vds. (7.41)
с
Выражая скорость v через комплексный потенциал, получим
Гс=$ vrfs= jj vxdx + vydy=^fxdx + pydy= y?dx-ddxdy.
CC с с
(7.42)
Рассмотрим на комплексной плоскости интеграл вдоль кривой С от производной комплексного потенциала:
lf4z)dz=lpxdx-&y + l[%dx+%dy. (7.43)
с с с
194
ПРИМЕНЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
[ГЛ. 7
Сравнение (7.40), (7.42) и (7.43) приводит к формуле
[f'(z)dz = rc + tNc. (7.44)
с
Эта формула, дающая выражение циркуляции и потока вектора скорости через производную комплексного потенциала, находит многочисленные применения в гидродинамике. Заметим, что если область S, в которой рассматривается движение, является односвязной, то интеграл (7.44) по любой замкнутой кривой С, целиком лежащей в S, равен нулю в силу теоремы Коши. В случае движения в многосвязной области S интеграл по замкнутой кривой С, целиком лежащей в S, может быть отличен от нуля. Это будет иметь место, когда внутри кривой С содержится область S', не принадлежащая S, в которой находятся источники и вихревые точки рассматриваемого течения. В этой области, очевидно, нарушаются уравнения (7.30) и (7.31). В частном случае область S' может состоять из отдельных точек, которые при этом являются изолированными особыми точками аналитической функции f(z) — комплексного потенциала течения.
Итак, всякое плоское потенциальное течение в области, в которой отсутствуют источники и вихревые точки, может быть описано с помощью комплексного потенциала, являющегося аналитической функцией комплексной переменной. Тем самым для изучения данного класса течений может быть использован весь аппарат теории аналитических функций.
Рассмотрим ряд примеров простейших течений, описываемых элементарными функциями комплексной переменной.
а) Пусть комплексный потенциал течения имеет вид
f (.z) = az, (7.45)
где a = O1 -j- ia2 — заданное комплексное число. Тогда
11 (¦%> У) = ai* — агУ' v (х> У)= а-2х + аіУ и линии тока v (х, у) = С представляют собой прямые, угол наклона
которых к оси X определяется выражением tgcc =----. Фор-
мула (7.36) дает
W = VxA- їму = /' (Z) = U = U1- Ia1, (7.46)
откуда следует, что скорость течения постоянна и направление вектора скорости совпадает с прямыми v(x, у) = С. Итак функция (7.45) определяет плоскопараллельное течение.
б) Пусть комплексный потенциал течения имеет вид
f(z) = а In z, (7.47)
где а — действительное число. Тогда, перейдя к показательной форме записи z = re'f, получим выражение потенциала и функции тока
ПРИЛОЖЕНИЯ К ЗАДАЧАМ МЕХАНИКИ И ФИЗИКИ
195
в полярных координатах:
и (г, ср) = а In г, V (г, ср) = аср.
Отсюда следует, что линии тока представляют собой лучи, выходящие из начала координат, а эквипотенциальные линии — окружности с центром в начале координат. Абсолютная величина скорости при этом равна
Предыдущая << 1 .. 67 68 69 70 71 72 < 73 > 74 75 76 77 78 79 .. 115 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed