Теория функций комплексной переменной - Свешников А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
h(jc, 0) = а (х) при-у = 0. (7.19)
Отобразим конформно верхнюю полуплоскость lmz>0 на внутренность единичного круга j w | < 1 так, чтобы заданная точка Z0 = = Jc0 -\- Iy0 (V0 > 0) перешла в центр W = O этого круга. Как легко видеть, это преобразование осуществляется дробно-линейной функцией:
^=/(Z) = I^. (7.20)
При эгом граничные точки связаны соотношением
е«ч|> = ?гЦо (7.21)
X Z0
и граничная функция а(х) переходит в функцию А (ф) = а [х (ф)], где X C\f) определяется из соотношения (7.21). Заметим, что соотношение (7.21) дает
190
ПРИМЕНЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
[ГЛ. 7
Значение искомой функции и(х, у) в точке x0, у0 определяется интегралом (7.16). Произведя в нем замену переменной интегрирования по формулам (7.21), (7.22), получим
со
— OO
что и дает решение поставленной задачи. Формула (7.23), дающая решение задачи Дирихле для полуплоскости, носит также название интеграла Пуассона.
4. Построение функции источника. Методы конформного отображения позволяют построить функцию источника первой краевой задачи для уравнения Лапласа в плоской области S, которую можно конформно отобразить на единичный круг j w | < 1 плоскости w. Как известно, функция источника G(Al0, M) данной задачи определяется следующими условиями:
1)
АмО(М0, M) = O при M ф M0, (7.24)
2) в окрестности точки M0
G (M0, M) = JL in _!_. + V (M0, М), (7.25)
r M0M
где функция V (M0, M) является гармонической функцией точки Al всюду в области S; 3)
G(M0, М)\мег = 0, (7.26)
где Г —- граница области S. Имеет место следующая теорема.
Теорема 7.1. Если функция w = f(z0, z) осуществляет конформное отображение заданной области S плоскости z на внутренность единичного круга \ w | < 1 так, что точка Z0 е= S переходит в центр W = O этого круга, то функция
G(M0, M) = InIn=J-^1 (7.27)
является функцией источника первой краевой задачи для уравнения Лапласа в области S. Здесь координаты точки M S суть х, у и z = x A7-Iy.
Доказательство. Для доказательства теоремы проверим, что функция, определенная формулой (7.27), удовлетворяет условиям (7.24)—(7.26). Функция f(z, z0), осуществляющая данное конформное отображение, является аналитической функцией, причем f(z, z0) ф О при z Ф zu. Отсюда следует, что и функция
ln/(z, z{)) = ln Z0) \ Ar і arg f(z, Z0)
ПРИЛОЖЕНИЯ К ЗАДАЧАМ МЕХАНИКИ И ФИЗИКИ
191
является аналитической функцией всюду в области S, за исключением точки Z0. Так как действительная часть аналитической функции есть функция гармоническая, то условие (7.24) выполнено. Поскольку /' (z, Z0) + 0 всюду в области S, включая и точку z = z0, a f(z, Z0) = О, то точка Zn является нулем первого порядка данной функции, т. е. в окрестности этой точки имеет место разложение
f(z, Z0) = (Z - Z0) ф (Z, Z0),
где ф (z, Z0) — аналитическая в окрестности точки Z0 функция, причем у (z0, Z0) ф 0. Отсюда следует выполнение условия (7.25) для функции (7.27). Наконец, так как \f(z, zQ)j — \, то функция (7.27) удовлетворяет и условию (7.26). Теорема доказана.
Приведем пример применения доказанной теоремы.
Пример 2. Построить функцию источника первой краевой задачи для уравнения Лапласа в полосе —со < х < со,-0 <_у < л.
Согласно только что доказанной теореме для решения задачи надо построить конформное отображение дайной полосы плоскости z на внутренность единичного круга |а>]<Г.1, при котором заданная точка Z0 переходила бы в центр круга w = 0. Как легко видеть, функция, осуществляющая требуемое отображение, имеет вид
/(Z01Z)=?—?-. (7.28)
ег~е2а
Поскольку имеет место соотношение
I ег _ ez„ = )^ех C0Sy _ ех„ cosj;,,)2 -j- (ех ъту —- ех« sinVo)2}''2 =
= е 2 У 2 {сп (х-X0)-cos (у-у0)}'/*,
то после элементарных преобразований получим искомую функцию в виде
G (M0, M) = ~ In 1ТГ-Ц - = -1 in ch (,-,O)-COS (, + -Уо) _ (7-29) v и' ' 2л 1/(Z01Z)1 4л ch (X-X0) — COS(I/— уа) v ;
§ 2. Приложения к задачам механики и физики
1. Плоское установившееся движение жидкости. Будем рассматривать плоское потенциальное установившееся течение несжимаемой идеальной жидкости. Как известно, в случае потенциального движения в области, свободной от источников, вектор скорости V (х, у) удовлетворяет уравнениям *)
rot v = 0, (7.30)
divv = 0. (7.31)
*) См. А. Н. Тихонов и А. А. Самарский, Уравнения математической физики, «Наука», 1972.
192
ПРИМЕНЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
[ГЛ. 7
Так как движение потенциальное, то существует скалярная функция и (х, у), называемая потенциалом скоростей, связанная с вектором скорости V соотношением
v —grad и(х,у), (7.32)
т. е.
du ди ._
V* = OX И Ь = ду- (7-«)
При этом вектор скорости V в каждой точке течения направлен по нормали к линии уровня и(х, у) = const потенциала скоростей. Подставив (7.32) в уравнение (7.31), получим
S + ?=0' (7-34)
т. е. в рассматриваемом случае потенциал скоростей является гармонической функцией.
Построим аналитическую функцию комплексной переменной f(z) = = и(х, у)-J-Iv(X, у), для которой потенциал и(х, ^рассматриваемого течения является действительной частью. Как было отмечено (см. стр. 34), при этом функция f(z) определена с точностью до постоянного слагаемого. Ранее (см. стр. 35) было показано, что линии уровня и (х, у) = const и V (х, у) = const действительной и мнимой частей аналитической функции взаимно ортогональны. Поэтому вектор скорости V в каждой точке течения направлен по касательной к линии уровня v(x, у) = const, проходящей через данную точку. Функция V (х, у), являющаяся мнимой частью построенной таким образом аналитической функции /(г), называется функцией тока, а сама функция f(z) комплексным потенциалом течения.
