Теория функций комплексной переменной - Свешников А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
ix~ 1IjI) |у= Цх-
Как легко видеть, в этом случае функция f(z) = c,(x, y) — h](x, у) должна быть аналитической, а отображение, осуществляемое функцией f(z) = g (х, у) -\- іц (х, у), должно быть конформным отображением Il рода.
Итак, мы получили окончательный ответ на вопрос, поставленный в начале этого пункта. При отображении области S плоскости z на область S' плоскости ?, осуществляемом функцией f(z) = = | (х, у) -\- /т] (х, у), уравнение Лапласа для функции и (х, у) перейдет в уравнение Лапласа для функции U (|, T]) = н [х (?, T]), _у (g, ті)] лишь в том случае, если данное отображение является конформным отображением I или II рода. Заметим, что при данных отображениях оператор Лапласа AAV переходит в оператор 1/'(Z)I2Aj11 =
~ ф' (?) 2 ^?т1' гдє Z ~ ^ ® ~ обратная функция, осуществляющая конформное отображение области W на область S. Тем самым даже простейшее уравнение эллиптического типа с постоянными коэффициентами Ан-4-си = 0, с = const ^ О, при конформном отображении перейдет, вообще говоря, в уравнение с переменным коэффициентом A111 U + с |ф' (O12lz = o.
3. Задача Дирихле. Полученные в предыдущем пункте результаты позволяют применить метод конформных преобразований к решению краевых задач для гармонических функций. Рассмотрим основную идею этого метода на примере решения задачи Дирихле.
Пусть требуется найти функцию и (х, z), удовлетворяющую уравнению Лапласа
Ah = O
в области S, непрерывную в замкнутой области S = S-\-F и принимающую заданные значения на границе Г:
и (P) Ir = а (P), (7.14)
где a (P) — заданная непрерывная функция точки P контура Г. Как известно *), решение этой задачи методом разделения переменных
*) См. А. Н. Тихонов, А. А. Самарский, Уравнения математической физики, «Наука», 1972.
188
ПРИМЕНЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
[ГЛ. 7
может быть получено лишь для ограниченного класса областей $ с достаточно простой границей Г.
Метод конформных преобразований дает достаточно универсальный алгоритм решения задачи Дирихле для плоских областей. Начнем с решения задачи Дирихле для круга радиуса а. Введем полярную систему координат г, ср с началом в центре круга. Тогда функция a (P) будет функцией лишь переменной ср. Постараемся выразить значение неизвестной функции и (г, ср) в произвольной внутренней точке (г0, ф0) круга через ее граничные значения а (ф). Для этого построим конформное отображение заданного круга на единичный круг j w j < 1 плоскости w, при котором точка г,„ ф0 перейдет в центр w = 0. Решение этой задачи легко получить с помощью дробно-линейной функции, рассмотренной в гл. 6 (см. § 2). Отображающая функция
имеет вид
а' а
--— г— - е' г0 г„
W = f(z) = X ^~Ч = 1 2 Ги/'Ф° , (7-15)
Kp0
где постоянная X выбирается из условия, чтобы граничные точки г = ae'f заданного круга перешли в граничные точки j w | = 1 единичного круга плоскости w; при этом |Я|=а-- a arg А, определяю-
г о
щий поворот круга \w\^\ вокруг его центра w = 0, может быть выбран произвольным. В результате произведенного преобразования искомая функция и (г, ф) перейдет в функцию U (р, ф) = м[г(р, ф), Ф(Р> 'Де Р. ф —полярные координаты на плоскости w, связанные с координатами г, ф соотношением (7.15). При этом заданная граничная функция а(ф) перейдет в функцию Л(ф) = а[ф(1, ф)]. Так как функция U (р, ф) является гармонической функцией своих переменных, то ее значение в центре круга может быть найдено по формуле среднего значения (7.4), откуда
2л
и (г0, Ф(1) = U U, о = ~ J А (ф) гіф. (7.16)
о
Из (7.16) мы получим явное выражение решения задачи Дирихле для круга, если выразим функцию А (ф) через первоначально заданную функцию а(ф). Заметим, что для соответствия граничных точек круга |zjs=c а и круга |ж>|==с1 формула (7.15) дает
ei* = ±™-gL_f (7.17)
Го '
откуда
гіф = , , .,—п-—.-г- гіф.
o2 + r5 —2ar0cos (ф—ф0) ^
§ 1] ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ 189
*) См. А. Н. Тихонов, А. А. С а м а р с к и й, Уравнение математической физики, «Наука», 1972.
Поэтому, сделав в интеграле (7.16) замену переменной интегрирования ij) = ij) (ф), где связь переменных ij) и ф определяется формулой (7.17), получим
о
Формула (7.18) и дает явное аналитическое выражение решения задачи Дирихле для круга радиуса а через функцию граничных условий а(ф). Эта формула, носящая название интеграла Пуассона, может быть получена и рядом других способов, например методом разделения переменных или с помощью функции источника *).
Полученные результаты позволяют в принципе решить задачу Дирихле для любой области которую можно конформно отобразить па единичный круг I w ] sg: 1 плоскости w. Действительно, при конформном отображении уравнение Лапласа сохраняется, а решение задачи Дирихле для круга нами получено. Совершив в интеграле (7.18) или (7.16) замену-переменной интегрирования, исходя из связи граничных точек области & и единичной окружности | w | = 1 при данном конформном отображении, мы и получим выражение решения задачи Дирихле во внутренних точках области через граничную функцию (7.14).
Пример 1. Решение задачи Дирихле для полуплоскости. Пусть требуется определить ограниченную на бесконечности функцию и(х,у), гармоническую в верхней полуплоскости у > 0, непрерывную при у 5:0 и принимающую заданные значения:
