Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Свешников А.Г. -> "Теория функций комплексной переменной" -> 49

Теория функций комплексной переменной - Свешников А.Г.

Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексной переменной — М.: Наука, 2004. — 321 c.
Скачать (прямая ссылка): teorfunckomplekperemen2004.djvu
Предыдущая << 1 .. 43 44 45 46 47 48 < 49 > 50 51 52 53 54 55 .. 115 >> Следующая

Формулы (5.15) и (5.17) позволяют доказать следующую теорему.
Теорема 5.2. Пусть функция f(z) является аналитической на полной комплексной плоскости, за исключением конечного числа изолированных особых точек zk (k=\, 2, N), включая и Z = Co (zN = со). Тогда
N
J] Выч lf(z), zk} = 0. (5.18)
k = i
Доказательство. Действительно, рассмотрим замкнутый контур С, содержащий внутри все (N- 1) особые точки zk, расположенные на конечном расстоянии от точки z = 0. По теореме 5.1
^1] f QdI= 2 Выч [f(z), zk}.
По, в силу (5.17), интеграл, стоящий слева, равен вычету функции f(z) в точке z = со, взятому с обратным знаком, откуда и получим утверждение теоремы 5.2.
Доказанная теорема иногда позволяет упростить вычисление интеграла от функции комплексной переменной по замкнутому контуру. Пусть функция f(z) является однозначной и аналитической на полной комплексной плоскости, за исключением конечного числа изолированных особых точек, и требуется вычислить интеграл от f(z) но некоторому замкнутому контуру Г. Если внутри Г содержится много особых точек функции f(z), то применение формулы (5.15) может быть сопряжено с весьма трудоемкими вычислениями. При этом может оказаться, что вне Г функция f(z) имеет лишь несколько особых точек zk (A= 1, 2, т), значение вычетов в которых, а также вычет в бесконечно удаленной точке определяются достаточно просто. Тогда удобнее вместо прямого вычисления искомого интеграла по формуле (5.15) воспользоваться очевидным следствием формул (5.15) и (5.18):
т
$/(Od? = —2яг2в"ч[/Сг), г,]-2я;Выч[/(4 со]. (5.19)
Tr /; = 1
Формула (5.19) позволяет легко получить обобщение формулы Коши (см. гл. 1, § 6, формулы (1.59), (1.60)) на случай неограниченной области. Рассмотрим функцию f(z), аналитическую вне замкнутого контура Г, являющегося границей ограниченной области Ъ. Пусть все точки Г — правильные точки функции f(z), а точка z = —= со — ее устранимая особая точка. Обозначим \imf(z) =/(со).
128
ТЕОРИЯ ВЫЧЕТОВ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
[ГЛ. 5
/ (z)
Построим вне Г функцию ф (z) — , где Zn — произвольная точка
z — гп
комплексной плоскости. Очевидно, что точка z = со является устранимой особой точкой и функции ф (z), причем Выч [ф (z), со] = = -/(со).
Если точка Z0 лежит внутри Г, то функция ф(z) других особых точек не имеет. Если точка Zn — вне Г, то z = Zn является полюсом не выше первого порядка функции ф (z), причем Выч [ф (z), zn] =/(zn).
Рассмотрим интеграл \ ф(с)й?? = (? в котором контур Г
г г г 1-
обходигся таким образом, что область Z остается слева. В силу формулы (5.19) получим
2лі ,)
гт,-ги 1/(со)—/(Z0), Z0-BHe Г. k ;
Формула (5.20) и является обобщением интегральной формулы Коти на случай функции /(z), аналитической в неограниченной области.
§ 2. Вычисление определенных интегралов с помощью вычетов
Доказанные в предыдущем параграфе теоремы находят многочисленные применения не только при вычислении интегралов от функций комплексной переменной, но п при вычислении различных определенных интегралов от функций действительной переменной, причем часто удается достаточно просто получить ответ и в тех случаях, когда применение других методов анализа оказывается затруднительным. Рассмотрим ряд типичных случаев.
2 л
1. Интегралы вида ^(cosO, sino)do. Рассмотрим интеграл и

/= \ R(COS 6, sin 8) d8, (5.21)
u
где R — рациональная функция своих аргументов. Интегралы типа (5.21) легко могут быть сведены к интегралам от аналитической функции комплексной переменной по замкнутому контуру. Для этого сделаем замену переменной интегрирования, введя комплексную переменную z, связанную с переменной 6 соотношением z = е,в. Очевидно,
dB = 1 dZ , cos 6 = ^ (e''9 + е-iQ) =Чг+ ~), sin6 = J. (z - --). і z ' 2 v ' ' 2 \ 1 z J' 2i \ zj
При изменении 6 от 0 до 2л комплексная переменная z пробегает замкнутый контур — окружность |z| = l в положительном направлении. Таким образом, интеграл (5.21) переходит в интеграл по замкну-
ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
129
тому контуру от функции комплексной переменной:
z =1
1 I dz
Z Z
(5.22)
В силу общих свойств аналитических функций подынтегральная функция в (5.22), являющаяся, очевидно, рациональной функцией
R (г)
Q0 + Ci1Z + ... + апгп Ь0 + Ь±г+. .. + bmz">
(5.23)
представляет собой функцию, аналитическую внутри круга | z \ = 1 всюду, за исключением конечного N т числа особых точек zk, являющихся нулями знаменателя в (5.23). Поэтому в силу теоремы 5.1
/=2я 2 Выч[^ (z), zk].
(5.24)
Точки zk являются полюсами функции R (z). Пусть ак — порядок
полюса zk I очевидно, ^ak ^ mj. Тогда на основании формулы (5.13)
\ * = і і
можно переписать (5.24) в виде
/=2я
1
тг lim
(?-!)! г~г> dz"к-
-[(2-Z11)^R(Z)I (5.25)
Пример 1. Вычислить интеграл

Ч
dd
+ О CuS 6 '
M<i.
(5.26)
Положив z = е1 , получим
. I+-0 г-і. А
1 1+ 2 \г 1 г
dz г
dz
IzI = I
nz2-f2z + a:'
(5.27)
Особыми точками подынтегральной функции являются нули знамена-
Это полюсы первого порядка. Так
теля z, 2 =
Предыдущая << 1 .. 43 44 45 46 47 48 < 49 > 50 51 52 53 54 55 .. 115 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed