Теория функций комплексной переменной - Свешников А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
124
ТЕОРИЯ ВЫЛЕТОВ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
[ГЛ. 5
в ее изолированной особой точке может быть применена формула (5.3):
Выч {/(г), Z0] = \ f(t) dt = c_v (5.4)
с
Однако в ряде случаев может быть указан более простой способ вычисления вычета, сводящийся к дифференцированию функции f(z) в окрестности точки z0. Тем самым вычисление контурного интеграла от аналитической функции может быть заменено вычислением производных от этой функции в некоторых точках, лежащих внутри контура интегрирования. Это обстоятельство определяет одно из основных приложений теории вычетов. Перейдем к рассмотрению указанных случаев.
1° Пусть точка Z0 является полюсом первого порядка функции f(z). Тогда в окрестности этой точки имеет место разложение
/(Z) = C1 (Z - Z0)"! - Ь с0 + C1 (Z - Z0) +... (5.5)
Умножив обе части (5.5) па (z — Z0) и перейдя к пределу при z—*• z0, получим
C1= Hm (Z- z0)/(z). (5.6)
Z-* Z0
Заметим, что в данном случае функция f(z) в окрестности точки Z0 может быть представлена в виде отношения двух аналитических функций:
причем ф (z0) ф 0, а точка Zn является нулем первого порядка функции ф (z), т. е.
Ф (Z) = (Z - Z0) г|/ (Z0) + tL^. (г _ z0f +.... IJ)' (Z0) ф 0. (5.8)
Тогда из (5.6)—(5.8) получим следующую формулу.
Формула вычисления вычета в полюсе первого порядка:
BbP1[Z(Z)1Z0H^g- (-9)
Пример 1. Пусть f(z) = г„2_ ^ . Особыми точками функции /(г)
, - г2л/г
являются точки Z11=Yl =е 11 (/г = 0, 1, и—1), причем все
эти точки представляют собой полюсы первого порядка. Найдем Выч [/(z), Zi1}. Согласно формуле (5.9) получим
1]
ВЫЧЕТ ФУНКЦИИ В ИЗОЛИРОВАННОЙ ОСОБОЙ ТОЧКЕ
125
2° Пусть точка Z0 является полюсом порядка /л функции f(z). Согласно предыдущему в окрестности этой точки имеет место разложение
f(z) = c_m(z- zoym +... + C1 (z - Z0)'1 + C0 + C1(Z- Z0) + ... (5.11)
Умножив обе части (5.11) на (z — z0)"\ получим (z - Z0Tf(Z) = с_т + с„т.! (Z - Z0) + ... + с_г (Z - Z0)«-! +... (5.12)
Взяв производную порядка (/«—I) от обеих , частей этого равенства и перейдя к пределу при z —>¦ z0, окончательно получим следующую формулу.
Формула вычисления вычета в полюсе порядка т:
Выч [/(*), Z0]
(т-1)!
Hm
dz"
-[(Z-Z0)'" f(z)\. (5.13)
Как легко видеть, формула (5.6) является частным случаем последней формулы.
Пример 2. Пусть f(z) = -
-—. Особыми точками этой функ-
(14-2*)«
ции являются точки zii2 = — i, причем обе эти точки представляют собой полюсы порядка п. Вычислим Выч|/(г), /]. Согласно (5.13) получим
пыч
1
.U+г2)'1'
(я-1)!
lim
1
dz'1'1 d"
(Z-If
1
(l+z2)"J
1
(z+ 0"
= (-1)
1
(n—l)l (2/1-2)! 1
(z + 0
(2/1 — 2)!
(5.14)
\(n —I)!]2 (2i)in 1 22" 1 |(n—l)!l2
3. Основная теорема теории вычетов. Перейдем теперь к рассмотрению важнейших применений введенных понятий. Для многих теоретических рассмотрений и практических применений весьма существенной является следующая
Теорема 5.1 (основная теорема теории вычетов). Пусть функция f(z) является аналитической всюду в замкнутой
области S, за исключением конечного числа изолированных особых точек zk (A=I, N), лежащих внутри области 9. Тогда
N
\f(Z)di = 2m ?Выч[/(г), (5Л5)
гг
k=-A
где Г1" представляет собой полную границу области 9, проходимую в положительном направлении.
126
ТЕОРИЯ ВЫЧЕТОВ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
[ГЛ. 5
Доказательство. Напомним, что если функция f(z) является аналитической в замкнутой области 3, то все точки границы Г этой области суть правильные точки функции f(z). Выделим каждую из особых точек zk функции f(z) замкнутым контуром ук, не содержащим внутри других особых точек, кроме точки zk.
В замкнутой многосвязной области, ограниченной контуром Г и всеми контурами ук (рис. 5.1) функция f(z) является всюду аналитической.
Поэтому по второй теореме Коши получим
N
\f(Qd^ + 2 \M)d^=0. (5.16)
Перенеся второе слагаемое в (5.16) направо, мы в силу формулы (5.4) и получим утверждение теоремы:
N
$/(0^ = 2я*2Выч[/(г), г„\
г+ k = \
Большое практическое значение этой формулы заключается в том, что во многих случаях оказывается гораздо проще вычислить вычеты
функции f(z) в особых точках, лежащих внутри области интегрирования, чем непосредственно вычислять интеграл, стоящий в левой части (5.15). В дальнейшем мы рассмотрим ряд важных приложений полученной формулы, а сейчас введем еще одно понятие — понятие вычета в бесконечно удаленной точке.
Пусть точка z = со является изолированной особой точкой аналитической функции f{z). Вычетом аналитической функции f(z) в точке Z = со называется комплексное число, равное значению интеграла
с- с+
где контур С — произвольный замкнутый контур, вне которого функция f(z) является аналитической и не имеет особых точек, отличных от со. Очевидно, в силу определения коэффициентов ряда Лорана имеет место формула
Выч {/(Z), со I = - A. J f(L) d? = _ c_v (5.17)
с+
ВЫЧЕТ ФУНКЦИИ В ИЗОЛИРОВАННОЙ ОСОБОЙ ТОЧКЕ
127
Отсюда, в частности, следует, что если точка z = оо является устранимой особой точкой функции f(z), то Выч\f(z), со| может оказаться отличным от пуля, в то время как вычет в конечной устранимой особой точке всегда равен нулю.
