Теория функций комплексной переменной - Свешников А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
OO
f(z)= S спг, R< : < -;. (4.23)
п~ — со
сходящийся к f(z) в данном кольце. Так же как и для конечной изолированной особой точки ^0 здесь возможны три случая:
1° Точка z==oo называется устранимой особой точкой функции f(z), если разложение (4.23) не содержит членов с положитель-
CO со
ными степенями z, т. е. f(z)= / —^2- = с0-(- / или если ПРИ
мшт <- ami
п=0 п=\
z —> со существует конечное предельное значение функции f(z), не
зависящее от способа предельного перехода. Если си == c-1 =...
.. .= с_шчі = 0, с_т ф 0, то бесконечно удаленная точка является нулем
/«-го порядка функции f(z).
2° Точка z = со называется полюсом порядка т функции f(z),
если разложение (4.23) содержит конечное т число членов с полоні
жительпыми степенями z, т. е. f(z) = S cnz"> О'1 Г> O) или если
H= —со
эта функция неограниченно возрастает по модулю при z-^оо независимо от способа предельного перехода.
3° Точка z = со называется существенно особой точкой функции /(г), если разложение (4.23) содержит бесконечное число членов
со
с положительными степенями z, т. е. f{z)= S cnZn, пли если
H = — со
в зависимости от выбора последовательности {zn\ -> со можно получить последовательность значений {f(zn)), сходящуюся к любому наперед заданному пределу.
Очевидно, доказательство эквивалентности всех приведенных выше определений характера изолированной особой точки z = со может быть проведено так же, как и для случая конечной изолированной особой точки.
классификация изолированных особых точек
121
Кроме того, как легко видеть, преобразование Z = -у-переводит точку оо
плоскости z в точку 'Q = O, характер же особой точки при этом преобразовании не меняется в силу следующей общей теоремы.
Теорема 4.7. Пусть точка Z0 является изолированной особой точкой функции /(г), аналитической в области W. Пусть аналитическая функция ? = і|з(г) устанавливает взаимно однозначное, соответствие между областью & и областью комплексной плоскости ?, в которой определена обратная функция г = ф(?). Тогда точка S0=Ip(Z,,) является изолированной особой точкой аналитической функции /•'(Q=ZIfPQ], причем характер этой особой точки тот же, что и точки Zn.
Эта теорема является очевидным следствием свойства аналитических функций, установленного в гл. 1, в силу которого аналитическая функция от аналитической функции является аналитической, а также геометрических свойств аналитической функции в окрестности изолированной особой точки.
Пример. Рассмотрим функцию f(~) = . * Данная много-
У 1 +z2
значная функция имеет две точки разветвления z — zLi. Точка z = = со —ее правильная точка. Поэтому в круговом кольце l<!z|<co определены две ветви этой функции, являющиеся однозначными аналитическими функциями в данном кольце. Выберем ветвь, являющуюся непосредственным аналитическим продолжением действительной функции . 1 действительной переменной .г>1, и построим ее раз-
Y) +Xі
ложепие в ряд Лорана в окрестности точки z = со. Для этого, положив ?= , отобразим данное кольцо на круг единичного радиуса
на плоскости ? (при этом точка z = oo переходит в точку ? = 0) и
1 Z
разложим функцию ф(?) =— = —в ряд Тейлора в ок-
рестности ее правильной точки Z, = 0. Предварительно заметим, что функция ф (Q является производной функции т|з (Q = ]/1 + ?2. (При этом наш выбор ветви исходной функции f(z) определяет выбор той ветви функции т|з(?), для которой ф (0)=+1.) Чтобы разложить функцию ij) (Q в ряд Тейлора, положим w = ?2 и рассмотрим функцию %(w) = y l-\-w. Вычисляя производные функции %(w), получаем
и=о=ИІ-1)-"Г2-В+1)(1+^"П
(-1)'
.»-i (2"-2)!
22л~і(я —!)•'
Тогда разложение выбранной ветви функции %(w) в круге J w \ < 1 принимает вид
x(a;) = V'"i+«' = H- %(-1)""1
(2л —2)1 и>"
2"2/"FT^ _ j)i „і
122 ряд лорана и изолированные особые точки [гл. 4
Отсюда для функции г|)(?) при |?|<1 получим
со п = i
и для функции ф(?)
OO
ф(П = яь' (D =_^_= У (—I)"'1 (2п~2^2п_Г2""1 =
4>VW T VW УТ+Т2 ^ 22"-1(/г-1)!я! fe
СО СО
2С іу»-і (2д — 2>1 >ая-г у, nt (2A)! ft+1 V 22^2[(n-l)l]2 і-Г J 22* (A!)2 ^
n = 1 A=U
Наконец, для выбранной ветви функции /(г) в кольце 1 < j г j < со получаем разложение в ряд Лорана
OO
' 4 = 0
ГЛАВА 5
ТЕОРИЯ ВЫЧЕТОВ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
§ 1. Вычет аналитической функции в изолированной особой точке
1. Определение и формулы вычисления вычета. Введем важное для приложений понятие вычета однозначной аналитической функции в изолированной особой точке.
Пусть точка Z0 является изолированной особой точкой однозначной аналитической функции f(z). Согласно предыдущим рассмотрениям в окрестности этой точки функция f(z) может быть единственным образом разложена в ряд Лорана
OO
/(^)= 2] Cn(Z-Z0)», (5.1)
п — — со
где
Cn= M f% dt (5.2)
с
и, в частности,
C^1 = ^f(DdI (5.3)
ё
Вылетом аналитической функции f(z) в изолированной особой точке Z0 называется комплексное число, равное значению интеграла ^— Jj f(t) dt, взятому в положительном направлении по лю-
У
бому лежащему в области аналитичности функции f(z) замкнутому контуру у, содержащему единственную особую точку Z0 функции f(z). Для обозначения вычета обычно применяются выражения Выч[/(,г), Z0] или res |/(z), г0]. Мы в дальнейшем будем пользоваться первым обозначением. Очевидно, что если точка Z0 является правильной или устранимой особой точкой функции f(z), то вычет l\z) в этой точке равен пулю. Для вычисления вычета функции f(z)
