Теория функций комплексной переменной - Свешников А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Заметим, что точка Z0, являющаяся кулем порядка т аналитической функции g(z), является полюсом того же порядка т функции
/ (z) = ¦ I , и наоборот. Это устанавливает очень простую связь
между нулями и полюсами аналитических функций.
3° Ряд Лорана функции f(z) в окрестности ее изолированной
особой точки Z0 содержит бесконечное число членов с отрицатель-со
ными степенями разности (z — Z0) т. е. f(z)= ^ Cn (z — z0)n. В этом
п= — со
случае точка Z0 называется существенно особой точкой функции f(z). Поведение аналитической функции в окрестности ее существенно особой точки описывается следующей теоремой.
Теорема 4.6 (теорема Сохоцкого — Вейерштрасса). Каково бы ни было є >» 0, в любой окрестности существенно особой точки Z0 функции f(z) найдется хотя бы одна точка Z1, в которой значение функции f(z) отличается от произвольно заданного комплексного числа В меньше чем на е.
Доказательство. Предположим, что теорема неверна, т. е. при заданном комплексном числе В и заданном є >¦ 0 найдется такое T]0 > 0, что во всех точках z из г]0-окрестности точки Z0 значение функции f(z) отличается от заданного В больше чем на е:
|/(z)-?|>e, і z-z0\<r)0. (4.21)
Рассмотрим вспомогательную функцию (z) = f * . В силу (4.21)
функция -ф (z) определена и ограничена в ^„-окрестности точки z0. Следовательно, по теореме 4.3 точка Z0 является устранимой особой точкой функции ty(z). Это означает, что разложение функции ty(z) в окрестности точки Z0 имеет вид
^(z) = (z-zaT Ц>(г), ^ (Z0) ^Q.
классификация изолированных особых точек
119
Тогда, в силу определения функции ф (z), в данной окрестности точки Z0 имеет место следующее разложение функции f(z):
/(Z) = (Z -z0Tm<f (z) + В, (4.22)
где аналитическая функция cp (z) = rj— ограничена в г)0-окрестности
ф(г)
точки Z0. Но разложение (4.22) означает, что точка Z0 является или полюсом порядка т, или при т = 0 правильной точкой функции f(z), и разложение в ряд Лорана последней должно содержать лишь конечное число членов, что противоречит условию теоремы. Полученное противоречие и доказывает теорему.
Теорема 4.6 дает следующую характеристику поведения аналитической функции в окрестности j z — Z01 < T]0 существенно особой точки: в существенно особой точке Z0 не существует конечного или бесконечного предельного значения аналитической функции. В зависимости от выбора последовательности точек, сходящейся к точке Z0, мы можем получить последовательности значений функции, сходящиеся к различным пределам. При этом всегда можно выбрать последовательность, сходящуюся к любому наперед заданному комплексному числу, включая и со.
Очевидно, нет необходимости доказывать теорему, обратную теореме 4.6, так как если при z-+Z0 не существует конечного или бесконечного предела функции f(z), то в силу теорем 4.2 и 4.4 точка Z0 не может быть пи устранимой, ни полюсом.
Заметим также, что если точка Z0 является существенно особой точкой функции f(z), причем f(z) ф 0 в некоторой окрестности точки Z0, то и для функции g (z) = l/f(z) точка Z0 является существенно особой точкой.
Рассмотренные три случая исчерпывают возможный вид разложения аналитической функции в ряд Лорана в окрестности ее изолированной особой точки и имеют решающее значение для выяснения общего хода изменения аналитической функции в окрестности ее особых точек.
Из проведенных рассмотрений следует, что возможны две различные точки зрения па классификацию изолированных особых точек однозначной аналитической функции, приводящие к одинаковым результатам. Мы исходили из аналитической точки зрения, основанной на характере разложения функции в ряд Лорана, и установили, как ведет себя сама функция при стремлении к особой точке. Возможен и другой, геометрический подход, при котором в основу классификации кладется поведение функции в окрестности ее изолированной особой точки. При этом, если функция ограничена в окрестности особой точки, то эта точка называется устранимой и, как следует из теоремы 4.3, разложение данной функции в ряд Лорана в окрестности этой особой точки не содержит отрицательных степеней. Если при стремлении к особой точке функция имеет бесконечный предел, то эта точка —полюс и разложение в ряд Лорана имеет конечное
120
ряд лорана и изолированные особые точки
[гл. 4
число отрицательных степеней. И наконец, если функция при стремлении к особой точке не имеет конечного или бесконечного предела, то это — существенно особая точка, разложение в ряд Лорана содержит бесконечное число отрицательных степеней.
В заключение данного параграфа остановимся па вопросе о поведении аналитической функции в окрестности бесконечно удаленной точки. Бесконечно удаленная точка комплексной плоскости является изолированной особой точкой однозначной аналитической функции f(z), если можно указать такое значение R, что вне круга J z I > R функция f(z) не имеет особых точек, находящихся на конечном расстоянии от точки z = 0. Так как f(z) является аналитической функцией в круговом кольце R < \ z \ < со, то ее можно разложить в ряд Лорана
