Теория функций комплексной переменной - Свешников А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
1° Полученный ряд Лорана не содержит членов с отрицательными степенями разности (z — Z0).
2° Содержит конечное число членов с отрицательными степенями разности (Z-Z0).
ll? ряд лорлііл и изолированные особые точки [гл. 4
3° Содержит бесконечное число членов с отрицательными степенями разности (г — zn).
В зависимости от указанных возможностей и производится классификация изолированных особых точек. Перейдем к последователь-пому рассмотрению каждого из указанных выше случаев.
1° Ряд Лорана функции /(~) в окрестности ее изолированной особой точки г() не содержит членов с отрицательными степенями
со
разности (z — Z0), т. е. /(z)= ^cn(Z- Zn)". Как легко видеть, при
/1 = 0
z -*¦ Z0 существует предельное значение функции f(z), причем это предельное значение равно с0. Если функция f(z) не была определена в точке zn, то доопределим ее, положив f(zn) -= сп. Если первоначально заданное значение f(z0) не совпадает с с0, то изменим значение функции /(.г) в точке Z0, положив /(z0) = сп. Так определенная функция f(z) будет аналитической всюду внутри круга \z — zn •< < Rx. Тем самым мы устранили разрыв функции f(z) в точке г„. Поэтому изолированная особая точка Z0 функции f(z), для которой разложение f(z) в ряд Лорана в окрестности Z0 не содержит членов с отрицательными степенями разности (z — z0), называется устранимой особой точкой.
Проведенные рассмотрения доказывают следующую теорему.
Теорема 4.2. Если точка Z0 является устранимой особой точкой аналитической функции f(z), то существует предельное значение lim f(z) = cn, причем j с0 \ <; со.
Z —> Z0
Заметим, что в окрестности устранимой особой точки функция f(z) ограничена и может быть представлена в виде
f (Z) = (z-z0)m ч(г), (4.17).
где т 0 — целое число, а ц>(г0)ф0. При этом, если lim f(z) = 0,
Z-* z„
то в представлении (4.17)число т > 0 определяет порядок нуля функции f(z) в точке Zn.
Имеет место и обратная теорема, которую мы докажем в усиленной формулировке.
Теорема 4.3. Если функция f(z), аналитическая в круговом кольце 0 < j z — Zn \ < Rx, ограничена (j /(z) < M при 0 < { z — — Zn J < Rx), то точка Z0 есть устранимая особая точка функции f(z).
Доказательство. Разложим функцию f(z) в ряд Лорана (4.14) и рассмотрим выражение (4.13) для коэффициентов этого ряда:
с
В качестве контура интегрирования выберем круг с центром в точке z0
классификация изолированных особых точек
117
радиуса р. 1огда в силу условия теоремы имеет место мажорантная оценка
,сл;<Мр-". (4.18)
Будем рассматривать коэффициенты с отрицательным индексом п < 0. Так как значение коэффициентов Cn не зависит от р, то из (4.18) получим Cn = O при и<0, что и доказывает теорему.
2° Ряд Лорана функции f(z) в окрестности ее изолированной особой точки Z0 содержит конечное число т членов с отрицательными
со
степенями разности (z-z0), т. е. /(г)= J] сп (z — z0)". В этом слу-
п = — т
чае точка z0 называется полюсом порядка т функции f(z). Поведение аналитической функции в окрестности ее полюса определяется следующей теоремой.
Теорема 4.4. Если точка Z0 является полюсом аналитической функции f(z), то при z —>-z0 модуль фзункции f(z) неограниченно возрастает независимо от способа стремления точки z к Z0.
Доказательство. Представим функцию f(z) в окрестности точки z0 в виде
со
-z0)" =
= (z - z0)" т\с_т -\- с_т^ (Z - z0) -f ... -I - (z - z0)m- 1I +
СО OO
+ J] Cn (г - Zn)" = (Z - z0)- ф (Z) -I- 2 с„ (г - Z0)". (4.19)
/!=0 /1 = 0
Функция ф (z), очевидно, является ограниченной аналитической функцией в окрестности точки z0. Из представления (4.19) следует, что при z -*¦ z0 модуль функции f(z) неограниченно возрастает независимо от способа стремления точки z к точке z0, что и доказывает теорему. Заметим, что, если доопределить функцию ф (г) в точке z0, положив ф (Z0) = с_т ф 0, формула (4.19) может быть переписана в виде
^)=(^- (4-2°)
где i|)(z) —аналитическая функция и i|)(z0)+0; число т называется порядком полюса.
Имеет место и теорема, обратная теореме 4.4.
Теорема 4.5. Если функция f(z), аналитическая в окрестности своей излированной особой точки Z0, неограниченно возрастает по модулю независимо от способа стремления точки z к точке Z0, то точка z0 является полюсом функции /(г).
Доказательство. По условию теоремы для любого числа Л > 0 можно указать такую е-окрестность точки z0, в которой
118
ряд лорана и изолированные особые точки
[гл. 4
|/(ХМ>Л. Рассмотрим функцию g(z) = j-^¦ ^ указанной є-окре-стности точки Z0 эта функция является аналитической и limg-(z) = 0.
Поэтому па основании теоремы 4.3 точка Z0 является устранимой особой точкой функции g(z), її функция g(z) в силу формулы (4.17) в окрестности точки Z0 может быть представлена в виде g(z) = = (z — z0)"'(f (z), где ер (z) — аналитическая функция, причем ф (z0) Ф О, а т^>0. Тогда в окрестности точки Z0 для исходной функции f(z)
имеет место представление f(z) = —j-г = -.——¦ —~. Оно в силу
"Ф (г)
условия ф (Z0) ф О может быть переписано в виде f(z) == ¦ т ' , сов-
падающем с представлением (4.20), где т]5(z) — аналитическая функция. Отсюда и следует, что точка Z0 является полюсом порядка т функции f(z). Теорема доказана.
