Теория функций комплексной переменной - Свешников А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
со
^^=2(?. l*-*ol>*» (4-5)
/2 = 1
OO
Отсюда следует, что областью сходимости ряда \ ^j'1 г по от-
1.Z ZqJ
/1 = 1
рицательпым степеням разности (z — Z0) является область, внешняя к окружности \ z — z0\ = R2 (так же как и /?, значение R2 может, в частности, равняться нулю или бесконечности),
Итак, каждый из степенных рядов правой части (4.2) сходится в своей области сходимости к соответствующей аналитической функции. Если R2 <С R1, то существует общая область сходимости этих рядов — круговое кольцо R2 < | z — z0\ < R1, в котором ряд (4.1) сходится к аналитической функции
со
f (z)=h(z) Л-h(z)= cn(z-z0T, R-^Iz-Z0KR1. (4.6)
п — — со
Так как ряды (4.3) и (4.4) являются обычными степенными рядами, то в указанной области функция f(z) обладает всеми свойствами суммы степенного ряда. Это означает, что ряд Лорана (4.1) сходится внутри своего кольца сходимости к некоторой функции /(г), аналитической в данном кольце.
ряд лорана
113
Если R2 ;> R1, то ряды (4.3) и (4.5) общей области сходимости не имеют. Тем самым в этом случае ряд (4.1) нигде не сходится к какой-либо функции.
2. Разложение аналитической функции в ряд Лорана. Теперь естественно поставить вопрос: можно ли функции, аналитической в некотором круговом кольце, сопоставить ряд Лорана, сходящийся к этой функции в данном кольне? Ответ па этот вопрос дает следующая теорема.
Теорема 4.1. Функция f(z), аналитическая в круговом кольце R2 < j z — z0 j < R1, однозначно представляется в этом кольце сходящимся рядом Лорана.
Доказательство. Фиксируем произвольную точку z внутри кольца R2-CIIz-z0-ClR1 и
ПОСТРОИМ ОКруЖПОСТИ CfC И Cf>'
с центрами в z0, радиусы которых удовлетворяют условиям R2 <1
< R2< Ri <Ri, R'2< \ z — Zo ;<Ri (рис. 4.1). Согласно Коши для міюгосвязчоп области имеет место соотношение
Рис. 4.
формуле
Я*) =
2ДІ J S
Cr
(4.7)
На Cfi' выполняется неравенство
впв дпооь
в виде
ї?:<7<;1. Поэтому, иредста-
1
S-z (S-Zo)-(Z-Z0) S-Zn
Z0 2 Is-
/1=0
S-Z0
и проведя почленное интегрирование, что возможно в силу равномерной сходимости ряда но переменной ? (подробнее см. гл. 2), получим
cr; '
где
_ ML
2W 3 (S-Z11)"
;</?, H 3=0.
(4.8)
(4.9)
114
ряд лорана и изолированные особые точки
[гл. 4
Так как на выполняется неравенство гично предыдущему имеем
со
1 1 /S-2O
< 1, то апало-
\г — г,
п = О
В результате почленного интегрирования этого ряда получим
со
* <*>=S5 $ 2(??*' (4Л0)
n = 1
где
2п,
Изменив направление интегрирования в (-1.11), перепишем это выражение в виде
с^=ш\ (C^Mt »>°- (4л2)
CR,
Заметим, что подынтегральные функции в (4.9) и (4.12) являются аналитическими в круговом кольце R2 < ] z — Z0 \ <; R1. Поэтому в силу теоремы Коши значения соответствующих интегралов не изменятся при произвольной деформации контуров интегрирования в области аналитичности подынтегральных функций. Это позволяет объединить формулы (4.9) и (4.12):
'¦ = бИо=|^я = 0,±1,±2,..., <4-13>
с
где С — произвольный замкнутый контур, лажащий в кольце R2 < < [ z — z01 < R1 и содержащий точку Z0 внутри. Возвратившись к формуле (4.7), получим
со со OO
№ = 2с» - ^ + 2 v^ir= 2 с"(г - г°)ге' (4Л 4)
п ~ О п ~ I п ~ — оо
где коэффициенты с„ для всех значений индекса п определяются единообразной формулой (4.13). Так как г —произвольная точка внутри кольца R2 < | z — Z0 j << R1, то отсюда следует, что ряд (4.14) сходится к функции /(z) всюду внутри данного кольца, причем в замкнутом кольне R2 <CR2 | z — Z0 | < < R1 ряд сходится к функции /(z) равномерно. Остается доказать единственность раз-
классификация изолированных особых точек
115
ложения (4.14). Предположим, что имеет место другое разложение:
со
/W= У, Cn(Z-Z0),
U = — СО
где хотя бы один коэффициент с'п Ф сп. Тогда всюду внутри кольца R.2<. \ z ~ Zq\< R1 имеет место равенство
со со
S Cn(Z-Z0Y= Z cn(z-z0Y. (4.15)
п ~ — со п = — со
Проведем окружность CR радиуса R, R2<R<Ri, с центром в точке Z0. Ряды (4.15) сходятся на С% равномерно. Умножим их на (z — Z0)'"1'1, где т — фиксированное целое число, и проинтегрируем почленно. Рассмотрим S (z — z0)n~m~x dz. Положив z — Z0 = Rec<f,' получим
2л г p. ,
\(z-z0)n-m-ldz = Rn~mi\e'<-n~m)<Pdq>= J ' (4.16)
cR о \ 2m, n = m.
Учтя (4.16), найдем, что после указанного интегрирования выражения (4.15) отличными от нуля окажутся лишь по одному слагаемому из бесконечных сумм в левой и правой частях этого выражения. Отсюда получим: ст = с'т. Так как т — произвольное число, то это и доказывает единственность разложения (4.14). Теорема полностью доказана.
Из полученных результатов следует, что точной областью сходимости ряда Лорана (4.1) является круговое кольцо R2 < | z — Z0 \ < R1, на границах которого имеется хотя бы по одной особой точке аналитической функции f(z), к которой сходится ряд (4.1). Последнее утверждение является следствием теоремы 3.3. •
§ 2. Классификация изолированных особых точек однозначной аналитической функции
Точка Z0 называется изолированной особой точкой функции f(z), если f(z) — однозначная и аналитическая в круговом кольце О < j z — Z0 і < Ri, а точка z0, является особой точкой фіункцж f(z). В самой точке Z0 функция f(z) может быть не определена. Изучим поведение функции f(z) в окрестности точки Z0. Согласно предыдущему параграфу функцию f(z) в окрестности точки Z0 можно разложить в ряд Лорана (4.14), сходящийся в кольце 0<;|г — Z01 < <С Ri- При этом возможны три различных случая:
