Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Свешников А.Г. -> "Теория функций комплексной переменной" -> 112

Теория функций комплексной переменной - Свешников А.Г.

Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексной переменной — М.: Наука, 2004. — 321 c.
Скачать (прямая ссылка): teorfunckomplekperemen2004.djvu
Предыдущая << 1 .. 106 107 108 109 110 111 < 112 > 113 114 .. 115 >> Следующая

Im V
Рис. 2.
внутри контура интегрирования, за исключением конечного числа изолированных особых точек V,- = ;'(/=!, 2, п), представляющих собой полюсы первого порядка. Поэтому, применяя теорему в вычетах, получим
п
fe=l
Оценим значение функции f(y) в (15) на отрезке A1A2. Так как на этом отрезке Re V = «+1/2, то, воспользовавшись соотношением
sin vn I Re V = H+ 1/2 = sin (2и+ 1) ch (л Im v) +
+ /sh (л Im v) cos (2л+ 1) | = (—I)^Ch(Ji Im v), (17)
МЕТОД ВАТСОНА
311
получим
] sin vn !лиг = chC31 Im v). (18)
Имеет место очевидная оценка
\cosvQ\AlA,^e»llmvi\AlA,, (19)
откуда
ггк vR I J) I Im V I
sin U1V^cIi (л Im v) -4"^ ІЄ МИ»<^ (^)
С другой стороны, очевидно,
I Ch av j ДіАг = e« <»+ W ! 1 + e-»*v |ЛіЛг >
>^_| 1 _е-а(2л+1)|еа(п+1/2)_ (2 1)
В силу (20) и (21) подынтегральная функция в (15) на отрезке A1A2 экспоненциально убывает при я ->¦ со. Поэтому, переходя к пределу при п-*-оо в выражении (15), получим
со
/(6)= 2 С"1)" те = ^ №. (22)
* = і
что и доказывает равенство исходного ряда (13) интегралу (14).
Перейдем теперь к вычислению интеграла (14). Для этого аналитически продолжим подынтегральную функцию (14) на всю комплексную плоскость V и определим особые точки функции /(v) =
cos v9 п
= —і-:- вне петли 11. Очевидно, таковыми являются точки
ch av sm ш
Vn = H (я = 0, -1, -2, ...), vk = ila(2k+\) J (k = 0, ±1, ±2, ...),
причем все эти точки — полюсы первого порядка. Заметим, кроме того, что подынтегральная функция /(у) является нечетной функцией комплексной переменной V.
Построим на комплексной плоскости v замкнутый контур Г„ т, состоящий из конечного участка П„ петли II между точками /A1 и A2
(см. рис. 2), прямолинейных отрезков A2A3, JzI3=Yn-j- , ^~^p~j^\
aa (д _f_„_ 1 ("+')"'Л . а \ |4 „U 1 (я»+1)я'Л
ЛзА«' Г* - \ " 2 ' S j j ' Л?' -1 \Л' - Г + 2"'--а-) 1
и контура Д4Д5,4вЛ7, представляющего собой прямолинейный отрезок A4A7 с обходом точки v = 0 по дуге полуокружности достаточно малого радиуса р.
Рассмотрим интеграл
Лг, т
(9) 1 \ ^r^L__tfv, (23)
v ' 2( j ch av sm хл, у '
312 ПРИЛОЖЕНИЕ 4
In. т (S) = -2. { Jj /(V) r/V + jj f(v)'dv + jj /(V) dv +
п„ Д, л,
At A, A,
+ \ /(V) dv + jj /(V) dv + jj /(V) rfv •f jj /(V) dv) . (25)
Cp A, A1 A3
В силу нечетности функции /(v)
A\ /(v) rfv + 1/(V)0(V = O. (26)
A, A5
Кроме того, очевидно,
і • C cos vS , . /г,„ч
lim \ —-:-dv = — i. (2/)
p 0 .! cn av sin yzl
CP
Оценим оставшиеся интегралы. В силу проведенных выше оценок (см. формулы (20), (21)) функция /(v) экспоненциально стремится к нулю при й=»скз на отрезках A1A1 и A3A2. Для оценки функции /(v) на отрезке A3A1 заметим, что аналогично (17)
jchav ',im V=. шя/u = eh (a Rev) 5s 1. (28)
Кроме того, очевидно,
COSVO'imv^mn/n^Se а '
ImV-= лія/о
а
(29)
|sinvn,imv = mn/a>|i 1 - e-2™2/uie™=/a>i_emnVa. (30)
Из (29) и (30) получим
COS \ б
sin хя
тЛ
- (л — в)
<4е « . (31)
Imv = mn/a
В силу (28) и (31) заключаем, что функция /(v) на отрезке А3АІ экспоненциально стремится к нулю при т—*-оо и 0 < л.
где интегрирование производится в отрицательном направлении. Очевидно,
т
In. т (S) = - Jt {Выч [/(V), Oj + 2 Выч [/(V), vA]j. (24)
k = 0
С другой стороны (см. рис. 2),
A1
метод batcoha
313
Переходя в (25) к пределу при п, ш-уоо и р-»-0 и учтя (24) и (15), получим в силу приведенных оценок
со
/ (Є) _ І- = _ я {Выч [/(V), 01+2 ВЫЧ r/(v)' V4 • (32)
Так как
Выч
cos vB
ehaV Sin VjT
k = 0
1_
л
Выч
COS V0 . 1 , T s л
ch «v sin vn a 4 ' 2
(-])*
ch
sh
2a
(2A + 1)
то окончательно получим
со
/(9) = F(O) = -|+ f 2
ch
6 л 2a
:-(2A + l)
sh
tt2
2^+!>
+34)
Очевидно, члены ряда (35) имеют асимптотический порядок _u (* + ІЛ (л-6)
е a \ при a ->- 0, что и обеспечивает быструю сходимость
ряда (35) при 9 < я. При достаточно малом а для практических расчетов можно ограничиться лишь первыми членами этого ряда.
Следует подчеркнуть, что конкретные применения метода Ват-сона в каждом отдельном случае могут быть различными — по-разному можно строить интеграл, эквивалентный исходному ряду, различными способами можно проводить его вычисление. Наиболее эффективный путь реализации метода в каждом конкретном случае должен выбираться, исходя из специфики исследуемого ряда.
ЛИТЕРАТУРА
1. А. В. Б и ц а д з е, Основы теории аналитических функций комплексного переменного, «Наука», 1972.
2. И. И. Привалов, Введение в теорию функций комплексного переменного, изд. 11, «Наука», 1967.
3. М. А. Лаврентьев и Б. В. UJ а б а т, Методы теории функций комплексного переменного, Физматгиз, 1972.
4. Л. И. Map куше вич, Теория аналитических функций, Гостехиздат, 1950.
5. В. И. Смирнов, Курс высшей математики, т. 3, ч. 2 изд. 9, «Наука», 1967.
6. С Стой л ов, Теория функций комплексного переменного. Перевод с рум., ИЛ, 1962.
7. Г. М. Гол узин, Геометрическая теория функций комплексного переменного, «Наука» 1966.
8. Р. Курант, Геометрическая теория функций комплексной переменной, перев. с нем., ОНТИ, 1934.
Предыдущая << 1 .. 106 107 108 109 110 111 < 112 > 113 114 .. 115 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed