Теория функций комплексной переменной - Свешников А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
304
ПРИЛОЖЕНИЕ З
является некоторое неоднолистное многообразие, получающееся путем введения так называемых областей наложения *).
В приложениях теории функций многих комплексных переменных, в частности в квантовой теории поля, существенным оказывается вопрос, является ли заданная область G областью аналитичности. Другими словами, найдется ли такая функция f(z), аналитическая в G, для которой область G является естественной областью существования. Если область G не является областью аналитичности, то всякая аналитическая в G функция f(z) может быгь аналитически продолжена па большую область G*, содержащую область О.
Как мы видели (см. пример 4 § 2 гл. 3), в случае одной комплексной переменной единичный круг I z I < 1 является областью аналитичности. Пользуясь теоремой Рішана о возможности конформного отображения произвольной области па единичный круг, легко показать, что в случае одной комплексной переменной всякая область есть область аналитичности.
В случае многих комплексных переменных данное утверждение уже не имеет места.
Чтобы это доказать, покажем, что уже в С2 область
G: {z = (гъг2у. 1 < і z | = (j Z1,2 +1 Z2 ;*)'/, < 5}
не является областью аналитичности**). Для этого достаточно доказать, что всякая функция, аналитическая в G, может быть аналитически продолжена в большую область G*, содержащую G, например в шар I г |< 5.
Итак, пусть f(z) — произвольная функция, аналитическая в G. Рассмотрим функцию
?(2) = ^(??) = ^ \ -??^1' (25)
Функция ф (z) представляет собой интеграл, зависящий от переменных Z1 и Z2 как от параметров. Подобласть {| 1 = 4, ' Z2; <С 3} принадлежит G (см. рис. 1). Поэтому функция ф (z) является аналитической по каждой переменной Z1 и Z2 в поликруге К: { і ' ¦< 4, і z21 < 3}. Легко видеть, что частные производные функции ф (г) при этом непрерывны. Отсюда следует, что в поликруге К: { ! Z1' <С 4; 11 ¦< 3} функция ф (г) является аналитической функцией двух комплексных переменных Z1 и z2. В частности, ф(г) является аналитической и в замкну-
*) Подробнее см. В. С. Владимиров, Методы теории функций многих комплексных переменных, «Наука», 1964.
**) Данный пример является незначительной модификацией примера, рассмотренного в книге С. Бохнера и У. Т. Мартина «Функции многих комплексных переменных», ИЛ, 1951. См. также В. С. Владимиров, Методы теории функций многих комплексных переменных, Наука, 1964.
ФУНКЦИИ МНОГИХ КОМПЛЕКСНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
305
той області; q': { [ Z1 | ^ 4, 1 I г._ поликругу К и исходной области в G' имеет место равенство
принадлежащей одновременно формулы Коши (1.59)
1
2л( 3 Si — Z1
Отсюда следует, что в G' аналитические функции /(г) и ф(-г) совпадают. Тем самым в расширенной области G* (шаре j z I <С 5), содержащей исходную область G, определена аналитическая функция F (z), равная f(z) в G и ф(г) в К, являющаяся аналитическим продолжением f(z) в G*. Что и требовалось доказать.
Итак, в случае многих комплексных переменных не всякая область является областью аналитичности. лнчает теорию функций многих комплексных функций одной комплексной переменной.
Этот
факт существенно от-переменных от теории
ПРИЛОЖЕНИЕ 4
МЕТОД ВАТСОНА
Метод Ватсона применяется главным образом при суммировании и асимптотическом анализе рядов. Первоначально этот метод был предложен Г. Н. Ватсоном в 1919 г. при исследовании задачи о дифракции радиоволн па сфере. Методом разделения переменных легко получить аналитическое представление решения этой задачи в виде ряда по собственным функциям. Однако при длине падающей волны, многим меньшей радиуса сферы, что имеет, например, место в задачах о дифракции радиоволи на поверхности Земли, полученный ряд сходится чрезвычайно медленно. Ватсопу удалось разработать метод, позволяющий преобразовать этот медленно сходящийся ряд в другой ряд, сходящийся достаточно быстро. Этот метод и получил впоследствии название метода Ватсона.
Основная идея метода Ватсона необычайно проста и основывается па том факте, что при вычислении интеграла по комплексной переменной с помощью теории вычетов можно, различным образом замыкая контур интегрирования, получать представление исходного интеграла в виде различных рядов. Однако, несмотря па простоту основной идеи метода Ватсона, его реализация во многих конкретных случаях требует большого искусства.
Проиллюстрируем основные положения метода Ватсона па достаточно простых примерах*). Пусть требуется просуммировать ряд
где а — некоторое положительное число.
Заметим, что при а^>1 численное суммирование ряда (1) с высокой точностью представляет собой не совсем тривиальную задачу.
Рассмотрим вспомогательный интеграл
со
1
0)
dv,
(2)
,2
Sin .TV
*) Приведенные ниже примеры применения метода Ватсона были предложены С. Я. С е к е р ж - 3 е н ь к о в и ч е м, которому авторы приносят искреннюю благодарность.
МЕТОД ВАТСОНА
307
где интегрирование производится на комплексной плоскости v по прямым %+ и X", параллельным действительной оси и отстоящим от нее па расстоянии d в верхней п нижней полуплоскостях, причем d<^a (рис. 1). По прямой X+ интегрирование ведется справа налево,
