Математическое и цифровое моделирование для инженеров и исследователей - Смит Дж.М.
Скачать (прямая ссылка):
В системах, имеющих более одного интегратора, обнаруживается бесконечное число комбинаций К и у для каждого из интеграторов, обеспечивающего решение системы решаемых уравнений. Определенные интеграторы более предпочтительны при промежуточных решениях, чем другие, а связанные с этими интеграторами фазовые характеристики и коэффициенты усиления будут доминировать при решении динамических систем.
Настроечные операции интеграторов в моделях или системах управления выполняются эмпирически достаточно быстро подстройкой сначала низкочастотных внешних цепей, а затем внутренних или высокочастотных цепей. Это итеративный процесс, который, по опыту автора, работающего с системами 10—20 порядка, занимает не более 1 —1,5 ч при настройке модели вручную в четырех-пяти контрольных точках. Эмпирическая подстройка интеграторов, спроектированных моделей систем или систем управления весьма эффективна. Большинство систем управления обладает адаптивными свойствами, обеспечивающими самонастройку своих характеристик в каждой отдельно взятой системе, нуждающейся в подстройке. Подстройку моделируемой системы осуществляет элемент, функционирующий параллельно с Г-интегратором в широком диапазоне условий, однако, как правило, настроенный на конкретные условия применения. Для настройки модели необходимы определенные значения критериев. Исходными посылками при их выборе являются либо определенные инженерные соображения, либо аналитические оценки, а определение их значений на модели возможно применением «отладочных потенциометров», обычно используемых при аналоговом моделировании. В частности, в программе «Аполлон» настроечные операции Г-интеграторов осуществлялись в цифровых компьютерах через преобразователи А/Ц с помощью потенциометров аналоговых компьютеров.
Во многих случаях отладка модели осуществляется для ее использования в широком диапазоне условий. Обычно отладка базируется на контрольных вариантах задач, реализуемых при самом
* Дискретная система уравнений получается с помощью Z-преобразования 7-интегратора для 1/s в ее передаточной функции, полученной с помощью преобразований Лапласа в линейных системах с последующим переходом из Z-области к разностным уравнениям.
265
малом шаге интегрирования с X или Г = 1 и у=0- Одновременно с подстановкой модели для работы в контрольном варианте осуществляется подготовка аналогичной модели для работы в скоростном режиме (например, в истинном масштабе времени для процессов в системах управления или в тренажерах с участием человека в контуре) с шагом интегрирования до 1/7оэг* и подгонкой настраиваемых параметров до требуемых значений. Регулируемые параметры могут зависеть от основной динамической переменной, являясь монотонной функцией от нее. Так, например, у может зависеть от числа Маха следующим образом: y = aQ + a\N[ + a2N[2, и для регулировки в этом случае необходимо определить три коэффициента степенного ряда, обеспечивающих «нормальное» функционирование регулятора с изменением М.
Подобные методы применяются, например, в авиационных тренажерах, где к тому же настраиваемые параметры имеют несколько выражений, которые включаются в зависимости от того, выпущено или убрано шасси, выпущены или убраны закрылки.
Целью многих моделирующих устройств является нахождение и согласование рациональных динамических характеристик моделируемых процессов. В этом случае настройка с помощью интегратора для решения системы уравнений ранее осуществлялась последовательной подстановкой выражения одного интегратора в другой вплоть до получения «динамического соответствия», обеспечивающего получение хорошо согласованных числовых интеграторов. При регулировании параметров Г-интеграторов по временному смещению и коэффициентам.усиления для лучшего удовлетворения теоремы о среднем используются их выражения в неявном виде.
Управление точностью интегрирования при фиксированном шаге
Одним из подходов к управлению точностью интегрирования при фиксированном шаге является изменение y До тех пор, пока Г-интегрирование при выбранном шаге не будет достаточно близко к результату Г-интегрирования с удвоенным шагом на одинаковом интервале. В этом случае интуитивная догадка о возможности использования Г-интегратора нулевого порядка перерастает в уверенность, что интерполяция ступенчатой функцией может быть поддержана с точки зрения удобства отладки. Эта экстраполяция непрерывной функции позволяет, таким образом, достичь цели в случае правильной центровки ступенчатой функции. Если ступенчатая функция отцентрирована «в среднем» относительно непрерывной интегрируемой функции, то и в этом случае дополнительное уменьшение шага или измельчение шага квантования вдвое существенно не изменит точности процесса интегрирования. Таким образом, этот прием оценки правильности выбора параметров ступенчатой функции, аппроксимирующей непрерывную функцию, при интегрировании является оправданным, так как только в случае
* со» — наибольшая частота моделируемой системы в Fepuax.
266
неудачной центровки изменение шага вдвое может значительно повлиять на точность. Поэтому важно, чтобы определение необходимости изменения у в каждом из п шагов было бы оценено при таком уменьшении шага в два раза (в уравнении с фиксированным у). Проблема заключается в определении уверенности возможности такой ступенчатой аппроксимации по сравнению с аппроксимацией непрерывной функции, которая может быть получена уже при первых вычислениях. Пробный расчет необходим и для определения характера изменения величины ошибки при изменении величины шага, приводит ли это к увеличению или уменьшению ошибки. Если точность увеличивается, то изменение Y в х°Де ее определения было в правильном направлении. Если точность уменьшается, у изменилось неправильно, и необходимо осуществить удвоение количества шагов, что может изменить результат оценки. Как только локальное значение найдено, можно продолжить моделирование, в том числе увеличивая шаг во времени. Затем Y подбирают вновь. Несомненно, подобные проверки проводятся и в высокоскоростном поверочном моделировании и при этом стремятся к фиксированным значениям величины шага.
