Математическое и цифровое моделирование для инженеров и исследователей - Смит Дж.М.
Скачать (прямая ссылка):
262
Непрерывная
kit)
x(t)
Дискретная -у
1-e-sT 1
S S
Рис. В.З. Схема Г-интегрирования
1) синтезируется структурная схема представления теоремы о среднем значении;
2) выводится формула интегрирования применением методик ^-преобразования.
Окончательное решение задачи осуществляется с помощью операций, представленных на рис. В.З, и четырех форм представления теоремы о среднем значении. Указанная на рис. В.З структурная схема является процедурой разработки передаточной функции Г-интегратора, полученного Z-преобразованием, и содержит следующее:
1) преобразование процесса перестройки нулевого порядка;
2) масштабирование и фазовое смещение или процесс «фаза— фильтрация»;
3) сам процесс непрерывного интегрирования.
Обращая передаточную функцию Г-интегратора нулевого порядка, мы найдем формулу численного интегрирования в неявном виде:
Xn = хп_, + X T [у xn + (l-Y)^n-i]. (В. 2)
Эта формула интегрирования является дискретной аппроксимацией теоремы о среднем значении, где X и у находятся таким образом, чтобы удовлетворялось уравнение среднего значения. Во-первых, заметим, что это формула неявного интегрирования, где Xn — функция хп, а для многих систем хп является функцией хп. Неопределенное интегрирование не позволяет точно оценить ХП9 НО Xn можно оценить либо с помощью экстраполяции, либо другим приближенным методом. Для того чтобы приспособить этот интегратор к интегрированию в явном виде (хп — функция in_i и других последующих значений скорости), нужно переписать
X (г) =2
X(Z)
— в виде
) (X ет^) (-L)=Xf
_^ (yTz + (l-y)T) z-1 I
а (В.2)
Xn = xn-i + Г T [(Y + 1) xn_x + yxn_2],
где Г — постоянная масштаба при текущей функции, отличающейся от К функцией, смещенной на интервал. Таким образом, компенсируется смещение подынтегрального выражения при замене хп на хп->\- Эта особенность находит отражение в прямой цепи структурной схемы, что связано с отличием в представлении четвертой формы теоремы о среднем от третьей формы.
263
Выбор значений параметров X и у
Любому способу выбора X или Г и у на первом этапе предшествует применение метода Рунге—Кутта или другого классического интегратора высокого порядка для интегрирования дифференциальных уравнений, а затем вычисляют у, принимая X=I1 или вычисляют X, принимая Y=I- Этот хорошо известный процесс подготовки интегратора определением X, у или обоих сразу (при взаимной увязке между Y и А,) можно осуществить через определенные интервалы времени моделирования (скажем, на каждом 100-м шаге). В конечном счете систему управления Г-интегратора настраивают так, чтобы он стал достаточно точным интегратором высокого порядка на определенном интервале моделирования во времени. Если подставить в нелинейное дифференциальное уравнение x = F(x, t) интеграторы нулевого порядка, то можно получить систему разностных уравнений, где Xs и ys — ее параметры.
Осуществим процесс программирования разностных уравнений на цифровой BM. Для этого получим сначала один или несколько контрольных случаев решения систем дифференциальных уравнений с применением численных методов интегрирования и использованием интеграторов Рунге—Кутта четвертого порядка. Теперь фазы и коэффициенты масштабирования могут быть выбраны эмпирически:
1. Выбором параметров разностного уравнения, обеспечивающего интегрирование с шагом, соответствующим частоте, превышающей в 7—10 раз частоту динамического процесса.
2. Установлением X=I.
3. Эмпирическим подбором Y до тех пор, пока результат вычислений с помощью разностного уравнения не будет обеспечивать хорошее совпадение * с результатом вычислений численным методом интегрирования дифференциальных уравнений.
4. Выбором X9 обеспечивающего при выбранном у устойчивое решение уравнений **.
Эмпирический способ быстр и точен при моделировании линейных процессов с постоянными коэффициентами, в которых подобранные параметры остаются инвариантными во времени. В нелинейных процессах они обычно меняются во времени, однако часто система параметров может быть определена «в среднем», например, если с инженерной точки зрения такой прием интегрирования хорошо согласуется в наиболее существенной области переменных состояния динамической системы. Указанный прием может быть использован, если условия моделирования или управления, а также элементы системы меняются несущественно от прогонки к прогонке (например, цифровой фильтр, встроенный в систему управле-
* При любом количестве критериев.
** Необходимо обеспечить условие, при котором Xs не будет выполнять функцию «коэффициента усиления системы». Проверка с помощью контрольного варианта как раз нужна автору, чтобы исключить такую возможность. Обычно А,= 1.
264
ния BM, или условия процесса моделирования этого числового гЬильтра в модели системы управления).
Однако в процессе инженерного проектирования модели с меняющимися от прогонки к прогонке параметрами в случае применения этого приема, подходящего для линейных систем, необходимо предусматривать время от времени прогонки контрольного варианта с уменьшенным шагом, для того чтобы понять и оценить, существует ли динамика изменения параметров системы. Параметры настройки модели могут быть оценены аналитически. Эти параметры, например могут быть выбраны (для линейных систем) подбором (определением) корней характеристических уравнений * дискретной модели с помощью уравнений непрерывной системы.
