Математическое и цифровое моделирование для инженеров и исследователей - Смит Дж.М.
Скачать (прямая ссылка):
1. Выявления f(z), определяющей S-1 в передаточной функции моделируемой системы;
2. Получения разностного уравнения с помощью обращения передаточных функций г-области.
Хорошо известный метод подстановки Тастина приводит к достаточно устойчивым, хотя и недостаточно точным, разностным уравнениям для моделирования непрерывного процесса. Тастин получил функцию f(z) в своем методе следующим образом:
что следует из ограничения разложения в ряд In (г) Лорана. Таким образом,
Пример. Используя метод Тастина, выведем разностное уравнение, моделирующее систему первого порядка:
и
у
і
X
XS + 1
Следуя методу, получим
У _
X
249
I Т/2% \
__T/2x(z+l) _ . 7-/2т(1 + г-і) ^Уі + Т^хі
~(1 +Г/2т) z + (Г/2т-I)-(I + Г/2т) - (1 - 7•/2T) z~i~ ^_ П—Т/2% \
Таким образом,
Ь U+.772т ^ У^\\ + ТІ2т>Г 1 ' Переходя к разностному уравнению, найдем
/1 —772т \ , / 7•/2T \ , . ,
у"-[ТТТ}ъ) y"-l4\-T7J2^){Xn+Xn-l}-
Теперь давайте рассмотрим свойства разностного уравнения. Сначала заметим, что
./1 -772? \ U+ 772* /
и что
Ит|г110ЛЮС|=1.
Таким образом, разностное уравнение устойчиво независимо от того, насколько велико значение Т. Это весьма существенное качество метода Тастина, которое распространяется на разностные уравнения высоких порядков.
Далее заметим, что передаточный коэффициент
1—772•B
1 + 772тз
является ограниченным разложением ряда е~г/\ Это легко увидеть из
-772т J _ JjC1x
е-Г/т =
1 + 772-в
Это означает, что разностное уравнение обеспечивает на каждом шаге лишь удовлетворительную аппроксимацию непрерывного движения при Г/2т<С 1.
Автор для метода Тастина обычно пользуется величиной T = =т/15. Говоря иными словами, частота квантования должна быть не менее чем в 15 раз выше основной частоты моделируемой системы. Многие из тех, кто применял метод Тастина, пользовались более низкими частотами квантований. Опыт автора указывает на то, что разностные уравнения, оставаясь устойчивыми, обеспечивают переход на шаге с абсолютной ошибкой порядка 10-3—Ю-4 при (os=15(on, где (Os — частота квантования, a (Dn — собственная частота моделируемой системы. Эти значения меняются от системы к системе и их не следует понимать буквально. Они даны здесь для ориентировки и являются иллюстрацией эвристического выбора рационального значения, как подхода автора при использовании небольшого шага в методе Тастина.
250
Внимательный читатель заметит, что передаточная функция при S-1 в методе Тастина не что иное, как передаточная функция интегрирования методом трапеций
Xn=Xn^1 + Г/2 {Xn +Xn^1),
что является численным интегратором неявного вида. То что метод Тастина основан на применении алгоритма интегрирования в неявном виде, предрешает успешность его применения в качестве метода подстановки.
Поскольку метод Тастина прост в применении к интегрированию в неявном виде и аналогичен методам трапеций дифференциальных уравнений движения, его можно использовать для решения определенных нелинейных дифференциальных уравнений.
Очевидно, достаточно просто перенести метод постановки на другие численные методы. Это доступно каждому и для этого необходимо осуществить ^-преобразование интегратора, получить его передаточную функцию. Затем эту функцию можно подставить в выражение S-1 моделируемой системы.
Пример.
Xn = хп_ і -j- Txn.
^-преобразование приводит к
(1 — г~1) х = Тх.
. х__ Tz
X ~z-l'
которое обычно при моделировании
У _ S~l
X и + s-i
приводит к
У (z)_ Tz =_TJx__ T/v
X К x(z—l) + T 1 — z-i + {TIx)Z-I 1-(1— TfX)Z-I '
обращающееся в разностное уравнение
Уп = (1 - TjX) у л_! + (Г/т) хп.
Для подстановки можно применить Г-интегратор. Его передаточной функцией является
хг[у* + (і-у)] Y^0-*
z—l j
где А, и Y можно применить для настройки интегратора при решении уравнения движения моделируемой системы, обсуждавшейся в гл. 7.
Существует достаточно обширная литература по методу подстановки. Некоторые из наиболее часто используемых алгоритмов при подстановке представлены в табл. АЛ.
251
Таблица АЛ
Наиболее часто употребляемые интеграторы в прикладном методе подстановки
1/5* Метол Оператор Метод Оператор
1/5 Тастин Мэдвед — Труксаль T *+ 1 2 г— 1 T *+ 1 2 г- 1 Точное z-преобразование z-форма Tz Z- 1 T *+ 1 2 *— 1
1/52 Тастин Мэдвед — Труксаль Г2 *2 + 2* + 1 4 (Z-1)2 Т2 Z2 + 4* + 1 6 (Z- 1)2 Точное z-преобразоваиие z-форма T2Z (Z- 1)2 Т2 *2 + Ю* + 1 12 (* —1)3
1/53 Тастин Мэдвед — Труксаль ГЗ *з + Sz2 + 3* + 1 8 (z— 1)3 ГЗ *3+ 11*2+ Ц*+ 1 24 (г— 1)3 Точное z-преобразовалнг z-форма ГЗ* (* + 1) 2(*— 1)3 ГЗ *(*+ 1) 2 (2T-I)J
1/54 Тастин Мэдвед — Труксаль 74 *4 + 4*3 + 6*2 + 4* + 1 16 (* — 1)4 Г* *4 + 26*з + 66*2 + 26* + 1 120 (*— 1)4 Точное z-преобразование z-форма Т4 Z (*2 + 4* + 1) 6 (-г—1)4 Г4 * (*2 + 4* + 1) 6 (*-1)4
Примечание. Подбор интегратора в общем случае осуществляется с помощью выражения — =
ПРИЛОЖЕНИЕ Б
ТАБЛИЦА z-ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ЖЮРИ*
