Математическое и цифровое моделирование для инженеров и исследователей - Смит Дж.М.
Скачать (прямая ссылка):
1, = 1^1+*)--^+^-^ + -?. (9.17)
245
является аппроксимацией Чебышева In (1 +х), что было получено ранее. Используя рекуррентную формулу с учетом того, что T0=I, Ti = X7 можно численно оценить уравнение (9Л7) первой оценкой численного значения для пяти полиномов Чебышева, например при *=0,3:
71O=J.
7-2 = (2)(0,3) Тх-Т0=2-0,3-0,3- 1 = -0,82, 7-3=(2)(0,3)7-2-71!= -2.0,3-0,82(-0,3) = 0,792.
Все это мы можем подставить в разложение степенного ряда для численной оценки ряда
у=1п(1,3)=^- 1/4 + (15/12)0,3- 1/4(-0,82)+ 1/12(-0,792)=0,2640; f/ = ln(l,3) = 0,26236426.
Эта процедура позволяет удобно оценивать полиномы Чебышева высоких порядков (вплоть до 20-го). Несмотря на то, что возможно написание разложения функций в полином Чебышева в гнездовой скобочной форме, оно громоздко, и начинающий может споткнуться, если он забыл, с какими скобками принято обращаться в процессе числовой оценки. Другим вариантом является первое вычисление численных значений полиномов Чебышева и затем подстановка их в уравнение разложения полинома, хотя это и не приводит непосредственно к оценке полиномов высшего порядка.
Пример. Экономизируем разложение ряда Маклорена: е*=1 + + X+X212 + х3/6+х4/24 + X5/120+^/720+ ... Так как
1=7^0 х=Ти
^=1/2(7-0 + 7-,), ^=1/4(37-, + 7-3),
^=1/8(37-0 + 47-2 + 7-4),
^=1/16(107-, + 57-,+ 7-5),
х« = 1 /32 (1ОГ0 + 15T2+QT4 + 7-6),
мы можем переписать е* как
е-=7-0 + Г, + 1 /4 (T0 + T2) +1 /24 (3 T1 + T3) + 1/192 (ЗГ0 + AT2 + ТА) + + 1/1920(107-, + 57-3+...)+1/23040(107-,,+ 157-2+...) + ...; е* = 1,26617-0 + 1,13027-,+0,27157-, + 0,04437^ +..,; е* = 1,2661 + 1,1303*+0,2715 (2*2 -'I) + 0,0444 (4'х3 - Зх) +...; е*=< 0,9946+ 0,9974*+0,5430*2+0,1771*3+...
246
Сравнение полинома Маклорена с экономизированным полиномом Чебышева
Таблица 9.6
Маклорен Чебышев Ошибка по Ошибка по
X Маклорену Чебышеву
1,0 2,7183 2,6667 2,7120 0,0516 0,0063
0,8 2,2255 2,2053 2,2307 0,0202 —0,0052
0 6 1,8221 1,8160 1,8267 0,0061 —0,0046
0,4 1,4918 1,4907 1,4917 0,0011 0,0001
0,2 1,2214 1,2213 1,2172 0,0001 0,0042 '
0,0 1,0000 1,0000 0,9946 0,0000 0,0054
Заметим, что члены, включающие Г0, Tu T2 и Г3, были получены при подстановках полиномов из шести членов в ряд Маклорена. Таким образом, мы выявили вклад шестого члена на фоне первого и последующих членов — эффект, за счет которого получена экономизация. Сравнение результатов расчета с использованием экономизированного полинома Чебышева и полинома Маклорена, содержащих четыре члена каждый, представлено в табл. 9.5. Заметим, что ошибка при использовании метода Чебышева максимальна при х = 0, а ошибка при применении метода Маклорена при этом минимальна. Это происходит от того, что приближение Маклорена вначале имеет характер касания по сравнению с минимаксным характером приближения Чебышева на интервале (0,1). Это иллюстрируется графиком рис. 9.2.
Пример. Осуществим аппроксимацию sinx полиномом Чебышева, используя метод экономизации. В этом же простом примере применим аппроксимацию sin х полиномом Маклорена, основываясь опять же на том, что она отцентрована в интервале —1^х^ ^ +1. Имеем
sin Xz= х-
6 ' 120
Тогда
sin Xz
169 ^ sin Xz=—— і і
192
128
1920
Более высокие степени X ряда Маклорена могли бы внести дальнейший вклад в уточнение коэффициентов Ti1, Г3 и Г5. Однако это доля небольшая, особенно для первых членов Tx. Член X5, в частности, изменяет коэффициент Гц менее, чем на 1%, а член х7 изменяет Ti менее, чем на 0,01%'.
247
0,04 0,03 0,02 0,01 О
-0,01
Ошиок 7 a M I
I
Ollluo і ка Ч
0,1 0Д 0,6 0,8 1,0
Рис. 9.2. Ошибка экономизации Чебышева при разложении в ряд Мак-лорена функции ех. Источник: Дж. М. Смит «Научное исследование на микрокалькуляторе», Вили, 1975. С разрешения издателя
2-Ю''
1-10'
ЫО'
Ошио ка M
Ошио і >
0,1 0,4 0,6 0,8 I1O
Рис. 9.3. Сравнение ошибок аппроксимации при разложении в ряд Мак-лорена и при экономизированном полиноме Чебышева функции sin*. См. Дж. М. Смит «Научное исследование на микрокалькуляторе», Вили, 1975. С разрешения издателя
Экономизируя аппроксимацию Чебышева (опуская член T5), найдем
_ 169 ~ 5 ~
sin х=\-Tл---Г3.
192 1 128
Подставляя
Тг = х\
T3 = Ax3- Зх,
найдем
sin X a 0,9974* -0,1562х3 = х (0,9974 - 0,1562*2).
Ошибки аппроксимации функции sin х методом Маклорена и экономизированной аппроксимации Чебышева сравнены на графике рис. 9.3.
9.3. ССЫЛКИ
При изучении следует иметь в виду работу Ричарда Хэмминга «Численные методы для инженеров и исследователей», Мак Гроу-Хилл, 1973, гл. 28, 29 и 30. В связи с решением примеров, приведенных в этой главе, целесообразно ознакомиться с работой Курти-са Ф. Джеральда «Прикладной численный анализ», Эддисон— Весли, 1970.
ПРИЛОЖЕНИЯ
ПРИЛОЖЕНИЕ А
МЕТОДЫ ПОДСТАНОВКИ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ПЕРЕДАТОЧНЫХ ФУНКЦИЙ С ПОМОЩЬЮ МОДЕЛЕЙ
Метод подстановки при использовании передаточных функций с помощью моделей заключается в предварительном получении разностного уравнения с помощью следующего метода:
