Принцесса или тигр - Смаллиан Р.М.
Скачать (прямая ссылка):
217
ние мечты Лейбница. Более того, вопрос—какие машины печатают те или иные числа, может быть сведен к вопросу — какие числа печатает универсальная машина 17, потому что вопрос, напечатает ли машина Ма число Ь, равносилен вопросу, напечатает ли машина 17 число а* Ь. Поэтому полное познание машины II означает полное познание всех машин, а следовательно, и всех математических систем. И наоборот, любой вопрос о том, напечатает ли некая машина заданное число, может быть сведен к вопросу о том, доказуемо ли то или иное утверждение в определенной математической системе. Таким образом, полное познание всех формальных математических систем означает полное познание нашей универсальной машины.
Итак, главный вопрос, стоящий перед нами, можно сформулировать следующим образом. Пусть V—множество чисел, которые может напечатать универсальная машина II (это множество иногда называют универсальным множеством). Разрешимо множество V или нет? Если оно разрешимо, то мечта Лейбница осуществима; если же нет, то его стремления никогда не смогут быть реализованы. Поскольку V эффективно перечислимо (ведь оно генерируется машиной II), то вопрос сводится к тому, существует ли некая машина Ма, которая сможет напечатать дополнение V, а именно множество V. Иначе говоря, существует ли такая машина Ма, которая печатает те и только те числа, которые машина 17 не печатает? На этот вопрос можно дать исчерпывающий ответ лишь на основании утверждений 1 и 2, о которых мы упоминали выше.
Теорема Б. Множество V не является эффективно перечислимым: для любой заданной машины Ма либо существует какое-то число, принадлежащее множеству V, которое машина Ма не может напечатать, либо машина Ма напечатает по крайней мере одно число, которое принадлежит не множеству V, а множеству V.
Сумеет ли читатель доказать теорему Ь?
Рассмотрим также следующий частный случай. Пусть у нас имеется утверждение о том, что машина Мз перечислила множество V. Чтобы опровергнуть это утверждение, достаточно отыскать некоторое число п,
218
показав при этом, что либо оно принадлежит множеству V, но не может быть напечатано машиной М5, либо оно не принадлежит множеству V, но машина М5 может его напечатать. Сумеете ли вы найти такое число п?
Я приведу решение этой задачи сразу, а не в конце главы,—по существу, это решение просто повторяет доказательство Гёделя.
Итак, возьмем произвольное число а. Согласно утверждению 2, машина Ма напечатает число х*х, если и только если машина Мга напечатает число х. Но, согласно утверждению 1, машина М2а напечатает число х, если и только если универсальная машина и напечатает число 2а* х, или, что то же самое, если число 2а* х принадлежит множеству V. Следовательно, машина Ма напечатает число х* х, если и только если число 2а * х входит в V. В частности (положив х равным 2а), машина М„ напечатает число 2а* 2а, если и только если число 2а* 2а принадлежит множеству V. Итак, либо (1): машина М„ напечатает число 2а* 2а, и число 2а* 2а принадлежит множеству V; либо (2): машина Ма не напечатает число 2а* 2а, и число 2а* 2а принадлежит множеству V.
Если выполнено условие (1), то машина Ма напечатает число 2а* 2а, которое входит не в V, а в V; это означает, что машина Ма не генерирует множество V, потому что она может напечатать по крайней мере одно число 2а* 2а, которое не входит в множество V. Если же выполняется (2), то мы опять получаем, что машина Ма не генерирует множество_ V, поскольку число 2а* 2а принадлежит множеству V, а машина Ма это число напечатать не может. Итак, в обоих случаях машина Ма не генерирует множество V. В силу произвольности выбора а это означает, что никакая машина не может перечислить множество V, и, следовательно, это множество не является эффективно перечислимым.
Конечно, в частном случае а =5 число п окажется равным 10* 10.
Но все же какое это имеет отношение к мечтам Лейбница? Строго говоря, мы не можем ни доказать, ни опровергнуть возможность осуществления лейбницевых
219
надежд, поскольку они никогда точно не формулировались. Ведь во времена Лейбница не существовало строгого определения понятий «вычислительная машина» или «генерирующая машина»; соответствующие точные определения были получены лишь в нашем веке. Подобных определений имеется много (их вводили Гёдель, Эрбран, Клини, Черч, Тьюринг, Пост, Смаллиан, Марков и многие другие), однако было проверено, что все они эквивалентны между собой. И если под словом «разрешимо» понимать разрешимость в соответствии с любым из этих эквивалентных определений, то мечта Лейбница оказывается неосуществимой по той простой причине, что сами машины можно перенумеровать таким образом, что утверждения 1 и 2 обязательно будут выполняться. Тогда по теореме Ь множество V, генерируемое универсальной машиной, оказывается неразрешимым—оно будет лишь полураз-решимо. Следовательно, не существует никакой «чисто механической» процедуры, с помощью которой можно было бы узнать, какие утверждения доказуемы в той или иной системе аксиом, а какие нет. Таким образом, любая попытка изобрести некий хитроумный «механизм» для решения всех математических задач обречена на провал.
