Принцесса или тигр - Смаллиан Р.М.
Скачать (прямая ссылка):
(1) Z не допускает распечатки;
(2) У истинно.
Далее, X может быть либо истинным, либо ложным. Предположим, что X истинно. Если Z ложно, то тогда X не допускает распечатки, а это означает, что X истинно, но не допускает распечатки. Если же Z истинно, то тогда, поскольку, согласно (1), оно не допускает распечатки, Z истинно, но не допускает
197
распечатки Итак, если X истинно, то либо X, либо Z истинно, но не допускает распечатки. Если же X ложно, тогда У не допускает распечатки и, следовательно, У истинно—согласно (2)—и не допускает распечатки.
Итак: если X истинно, то по крайней мере одно из двух утверждений X и Z является истинным, но не допускающим распечатки. Если же X ложно, то истинным, но не допускающим распечатки, оказывается утверждение У.
4. Пусть 5 есть утверждение вида Л А—Л А. Оно говорит нам о том, что ассоциат выражения ЛА (а ассоциат ЛА есть само 5/) является опровержимым; следовательно, 5 истинно в том и только том случае, когда 5 опровержимо. Поскольку 5 не может быть одновременно и истинным и опровержимым, значит оно ложно, но неопровержимо.
5. а) Выберем в качестве X утверждение Р—Л А — Р— ЛА, а в качестве У—утверждение ЛА—Р—ЛА. Ясно, что X утверждает доказуемость У, а У утверждает опровержимость ассоциата выражения Р—Л А (ассоциат Р—ЛА есть в данном случае просто само X). Итак, X утверждает, что У доказуемо, а У утверждает, что X опровержимо. (Другой вариант решения — принять за X утверждение РА — Л—РА, а за У—утверждение Л—РА—Л—РА.)
Далее, если У доказуемо, то У истинно, откуда следует, что X опровержимо и, следовательно, ложно, что в свою очередь означает, что У недоказуемо. Таким образом, допущение о доказуемости У приводит нас к противоречию; стало быть, оно неверно, й У недоказуемо. Если же У недоказуемо, то X ложно. Итак, мы имеем:
(1) X ложно;
(2) У недоказуемо.
Теперь если У истинно, то У истинно и недоказуемо. Если же У ложно, то X неопровержимо (поскольку У утверждает опровержимость X), и поэтому в данном случае X ложно, но неопровержимо. Следова-
тельно, либо У истинно, но недоказуемо, либо X ложно, но неопровержимо.
б) Возьмем в качестве X утверждение ЫР—ЫЯА— ХР—ЫЯА, а в качестве У—утверждение ЫЯА—ХР— ХЯА (или же за X можно принять ХРА—N1?—ХРА, а за У — ХР—ХРА— ХК—ХРА). Тогда, как читатель может убедиться сам, X утверждает недоказуемость У, а У утверждает неопровержимость X. Если X опровержимо, то X ложно; тогда У доказуемо и, значит, У истинно, откуда следует, что X неопровержимо. Следовательно, X неопровержимо и, кроме того, У истинно. Если же X ложно, то X ложно и неопровержимо. Если, наконец, X истинно, то У недоказуемо; поэтому в данном случае У будет истинным и недоказуемым.
Обсуждение. По аналогии предположим, что на нашем острове, где живут рыцари и плуты, имеются еще два обитателя X и У, причем X заявляет, будто У—признанный рыцарь, а У утверждает, что X—отъявленный плут. Единственный вывод, который можно сделать,— это что один из них (мы не знаем, кто именно) должен оказаться либо непризнанным рыцарем, либо неотъявленным плутом. Точно такая же ситуация будет иметь место, если X станет утверждать, что У непризнанный рыцарь, а У заявит, что X—неотъявленный плут.
б. Положим
Ф-ЫРА—Р—И—К—ИРА,
г-и—чг, откуда ^=к—ыра—р—к—д—мм,
у=д—г, откуда у=д_д_.г«м—р—к—я—Т4РА,
Х=Р— у. откуда х=р—и—д—мм—Р—к—й—мм.
Тогда X утверждает доказуемость У, У утверждает опровержимость 2, 2 утверждает опровержимость XV, а утверждает недоказуемость X (действительно, № утверждает недоказуемость ассоциата выражения Р—Я—Я—ЫРА, которым является само высказывание X).
Если W опровержимо, то ложно; поэтому X доказуемо и, значит, истинно; следовательно, У доказуемо, а значит, истинно; стало быть, 2 опровержимо, а потому ложно. Отсюда сразу следует, что W неопро-
199
вержимо. Итак, ук не может быть опровержимым; значит, V/ является неопровержимым, и, следовательно, Z будет ложным.
Далее, если ложно, то '№ ложно, но неопровержимо. Предположим, что V/ истинно; тогда X недоказуемо. Если X истинно, то X истинно и недоказуемо. Предположим теперь, что X ложно; тогда У недоказуемо. Если У истинно, то У истинно, но недоказуемо. Предположим, наконец, что У ложно; тогда Z неопровержимо. Итак, в данном случае Z ложно, но неопровержимо.
Приведенное рассуждение показывает, что либо ложно и неопровержимо, либо X истинно и недоказуемо, либо У истинно и недоказуемо, либо Z ложно и неопровержимо.
7. Эта задача фактически представляет собой просто записанный в других обозначениях вариант задачи 1 данной главы!
Мы знаем, что число 32983 в первой машине Мак-Каллоха порождает число 9832983. Следовательно, по условию Мс 1 утверждение 832983 истинно в том и только том случае, если утверждение 9832983 доказуемо. Кроме того, по условию Мс 2 утверждение 9832983 истинно в том и только том случае, если утверждение 832983 не является истинным. Итак, сопоставляя эти два факта, мы получаем, что утверждение 9832983 истинно в том и только том случае, если оно недоказуемо. Значит, решением является число 9832983.
Если мы сравним эту задачу с задачей 1, то увидим, что цифра 9 играет здесь роль Л/, цифра 8 соответствует символу Р, цифра 3 соответствует А, а цифра 2 играет роль тире. В самом деле, если мы заменим символы Р, Ы, А,— соответствующими цифрами 8, 9, 3, 2, то утверждение ЫРА — NPA (которое является решением задачи 1) трансформируется в число 9832983 (то есть в решение данной задачи!)
