Принцесса или тигр - Смаллиан Р.М.
Скачать (прямая ссылка):
Наконец, если у нас имеется произвольная машина, в которую заложены лишь правила 1 и 4, то принцип Крейга и законы Фергюссона продолжают выполняться и в этом случае. Таким образом, если бы мы вместо правила 2 воспользовались правилом 4, то для большинства задач, о которых шла речь в двух предыдущих главах, мы вполне могли бы получить альтернативные решения. (Понятно ли читателю, как все это можно сделать? Если нет, то можно обратиться к приведенным далее пояснениям.)
Я мог бы рассказать еще о многом, но лучше, пожалуй, будет сформулировать мои основные замечания в виде трех теорем.
Теорема 1. Закон Мак-Каллоха (который, как известно, гласит, что при любом А существует некое число X, которое порождает число АХ) оказывается справедливым не только для машин, подчиняющихся правилам 1 и 2, но и для машин, подчиняющихся правилам 1 и 4.
Теорема 2. Любая машина, которая подчиняется закону Мак-Каллоха, подчиняется также и двум принципам Крейга.
Теорема 3. Любая машина, которая подчиняется одновременно второму принципу Крейга и правилу 1, должна подчиняться также и всем законам Фергюссона.
Не сообразит ли читатель, как доказать все эти теоремы?
Решения
Рассмотрим сначала произвольную машину, которая подчиняется правилам 1 и 4. Как известно, при любом
X число 52Х порождает число XX; поэтому если выбрать в качестве X число 52, то мы получим, что число 5252 порождает число 5252. Итак, у нас есть число, которое порождает само себя. Кроме того, число 552552 порождает повторение самого себя. Далее, чтобы для любого А найти число X, которое порождает АХ, возьмем в качестве X число 52Л 52 (в самом деле, оно порождает повторение числа А52, которое есть число А52А52, то есть число АХ). Тем самым мы доказали теорему 1. (Бели мы хотим иайти число X, которое порождает повторение АХ, то в качестве X следует взять число 552А552.)
А теперь рассмотрим машину, которая подчиняется выведенным Мак-Каллохом правилам I, 3 и 4. Числом, порождающим обращение самого себя, является, например, число 452452 (оно порождает обращение повторения числа 452, или, другими словами, обращение числа 452452). (Сравните его с предыдущим решением 43243.) Числом, которое порождает повторение обращения самого себя, является число 54525452. (Сравните его с прежним решением 5432543.)
Далее, рассмотрим машину, которая подчиняется правилам 1, 2 и 4. Мы знаем, что число 33233 порождает свой собственный ассоциат точно так же, как и число 352352. Что^касается числа X, порождающего повторение самого себя, то у нас уже имеются два решения — это числа 35235 и 552552. Что же касается числа X, порождающего ассоциат повторения самого себя, то одним решением служит число 3532353; другим — число 35523552. Наконец, для числа, которое порождает повторение своего собственного ассоциата, также существуют два решения—это число 5332533 или число 53525352.
Наконец, рассмотрим некоторую произвольную машину, которая подчиняется по меньшей мере двум из правил Мак-Каллоха, а именно: правилам 1 и 4. Для заданного операционного числа М числом X, порождающим М(Х), оказывается число М52М52. (Сравните его с прежним решением—числом M32M3, полученным для машины, в которой вместо правила 4 используется правило 2.) Если теперь задано операционное число М и некое число А, то числом X, порождающим
155
М(АХ), будет число М52АМ52. (Сравните его с прежним решением — М32AM3.) Построенные решения показывают нам, что оба принципа Крейга могут быть получены на основании правил 1 и 4. Впрочем, я сформулировал гораздо более общее утверждение, а именно: для того чтобы получить принципы Крейга, достаточно одного только закона Мак-Каллоха (теорема 2). Это утверждение можно доказать тем же способом, который использовался нами в гл. 10. В самом деле, для любого заданного операционного числа М существует некое число У, которое порождает МУ; отсюда ясно, что число МУ порождает Поэто-
му число X порождает М(Х), где Х=МУ. Точно так же для любого числа А, если имеется некоторое число У, порождающее АМУ, число МУ порождает М(АМУ) и, следовательно, число X порождает М(АХ) при Х=МУ.
Что же касается теоремы 3, то ее можно доказать так же, как это делалось в предыдущей главе. [Например, если даны операционные числа М и N и если выполняется второй принцип Крейга, то существует некое число X, которое порождает M(N2X). Если теперь мы обозначим число N2X через У, то получим, что число X порождает М(У), а число У порождает N(X).]
I 3 Ключ
Дело, по которому Крейг поехал в Норвегию, заняло у него гораздо меньше времени, чем он предполагал, и ровно через три недели инспектор возвратился домой. Дома его ждала записка от Мак-Каллоха:
Дорогой Крейг!
Если ты случайно вернешься из Норвегии до 12 мая (это пятница), то приходи ко мне в этот день обедать. Фергюссона я уже пригласил.
С приветом
Норман Мак-Каллох
— Вот и отлично! — сказал себе Крейг.—Я вернулся как раз вовремя!
Крейг приехал к Мак-Каллоху минут через пятнадцать после того, как там появился Фергюссон.
— С благополучным возвращением! — приветствовал приятеля Мак-Калл ох.
