Принцесса или тигр - Смаллиан Р.М.
Скачать (прямая ссылка):
4. Подходит, например, число 53253. (Оно получено опять же с помощью принципа Крейга.)
5. Одно из решений—число 4532453.
6. Другое решение—это число 5432543.
7. Решение очевидно—в том, конечно, случае, если нам известно, что некое число порождает само себя. При этом если X порождает X, то ясно, что 5Х порождает повторение X. Так, например, число 5323 порождает повторение числа 323.
8. Одно из решений—число 5332533. (Опять принцип Крейга!)
9. Одно из решений—число 3532353; оно тоже найдено с помощью принципа Крейга. (Надеюсь, я заинтриговал читателя этим принципом!)
10. 5(5)=55. [Так как 5(5) — это повторение числа 5.] Поэтому возьмем число 5 в качестве М и число 5 в качестве X. (Ведь я не утверждал, что Ми X должны быть разными числами.)
11. 4(4)=4. [Поскольку 4(4)—это обращение числа 4, которое также равно 4.] Таким образом, М~4 является одним из решений. (Фактически в качестве решения подойдет любая цепочка четверок.)
12. Возьмем М=3 и Х=2. [3(2)=222].
13. 4(6)=6, а 6=4+2, поэтому 4(6)=4+2. Итак, М=4, а Х=2.
14. Одно из решений: М=55, Х=55.
15. Одно из решений: М— 4, N=44.
16. Одно из решений: М=5, N=55.
17. Одно из решений: М=5, N=4.
18. Одно из решений: М= 3, N=5.
19. Одно из решений: М=55, N=45.
20. Пусть М—любое операционное число. Мы знаем (утверждение 1), что в случае любых чисел У и X, если У порождает Z, МУ порождает М^). Поэтому (принимая МУ в качестве 2), если У порождает МУ, то МУ должно порождать М(МУ). Таким образом, если выбрать МУ в качестве X, то число X будет порождать М(Х)! Итак, наша задача сводится к нахождению такого числа У, которое порождает МУ. Но эта задача уже была решена в предыдущей главе (с помощью закона Мак-Каллоха): надо просто взять в качестве У число 32МЗ. Итак, за X мы принимаем число М32МЗ, причем это X будет порождать М(Х).
Проверим полученный результат: в самом деле, пусть Х=М32МЗ. Но поскольку число 2МЗ порождает число М3, то число 32МЗ порождает число М32МЗ (согласно правилу 2), и, следовательно, число М32МЗ будет порождать М(М32МЗ). Таким образом, действительно X порождает М(Х), где X—число М32МЗ.
Рассмотрим теперь некоторые приложения. Для того чтобы найти некое число X, порождающее повторение X, примем 5 в качестве М; тогда сразу получаем решение (а точнее, одно из решений)—число 53253. Для того чтобы найти число X, порождающее обращение самого себя, положим М=4; тогда X есть число 43243. Для того чтобы найти число X, которое порождало бы ассоциат обращения X, выберем в качестве М число 34; отсюда возможное решение — число 3432343.
Для решения первой задачи Мак-Каллоха (найти число X, которое порождает повторение обращения ассоциата X) выберем в качестве М число 543 (5—для
получения повторения, 4— для получения обращения и 3 — для получения ассоциата); решением в данном случае является число 543325433. (Читатель может легко удостовериться непосредственно, что число 543325433 действительно порождает повторение обращения ассоциата числа 543325433.) Для решения второй задачи Мак-Каллоха (найти число X, которое порождает ассоциат повторения обращения X) возьмем в качестве М число 354; в результате получим решение— число 354323543.
Да, действительно, принцип Крейга великолепно работает в этих ситуациях!
21, 22, 23, 24. Задачи 21, 22 и 23 являются частными случаями задачи 24, поэтому мы начнем прямо с последней из них.
Пусть нам дано операционное число М и произвольное число А, причем мы хотим найти некое число X, которое порождает М(АХ). Вся штука теперь состоит в том, чтобы найти такое число У, которое не порождает МУ, однако порождает АМУ. Возьмем в качестве У число 32АМЗ. Поскольку У порождает АМУ, тогда МУ в соответствии с утверждением 1 должно порождать М(АМУ). Значит, если принять за X величину МУ, то X будет порождать М(АХ). Но поскольку мы выбрали в качестве У число 32АМЗ, то число X в данном случае будет равно М32АМЗ. Итак, искомое решение—число вида М32АМЗ.
Попробуем применить этот результат к решению задачи 21. Прежде всего отметим, что число 7Х7Х— это просто повторение IX, так что мы ищем некое число X, которое порождает повторение IX—или повторение АХ, если считать А равным 7. Итак, А—это 7, а за М, очевидно, можно принять число 5 (поскольку 5 представляет собой операцию повторения); поэтому решением будет число 532753. (Читатель легко может убедиться сам, что число 532753 действительно порождает повторение числа 7532753.) Для задачи 22 в качестве А возьмем 9, а в качестве М примем 4, тогда решение—число 432943. Для задачи 23 в качестве А выберем 89, а в качестве М—число 3; решением будет 3328933.
141
25. Да, для любого числа А существует некое число X, которое порождает ХА, а именно 432А43. (В .цанной конкретной задаче, для которой А=67, имеем А—76, так что решением будет число 4327643.)
26. При рассмотрении наиболее общего случая самое главное—понять, что ХА—это обращение АХ, и поэтому М(ХА) = М4(АХ). Согласно второму принципу Крейга, числом X, порождающим М4(АХ), является число М432АМ43 — оно и будет решением данной задачи. В частном случае, если вместо М взять 5, а вместо А—67, числом X, порождающим повторение Х67, будет число 543276543 (в чем читатель может легко убедиться сам).
