Вероятность: основные понятия, структура, методы. - Скороход A.B.
Скачать (прямая ссылка):
к к
тической области С, имеющей £ точек Ре (С) = ^д. Пусть а = ^.
Тогда если С содержит точки гх, г2,гк (их координаты только
нули и единицы) и — число единиц среди координат гг, то
к к
0»)=2 0 - рГ"1 = 0 - РУ2 (£гТ •
<=1 1=1 х и
От выбора С правая часть зависит через «ь так как у^Г^^
то критерий будет равномерно наиболее мощным, если числа
Пг выбрать максимальными. Располагая точки с координатами
О и 1 в порядке убывания п{ (например: (1,...,1), (1,...,1,0),
(1,..-, 1, 0, 1).....(О, 1,..., 1), (1,..., 1, 0, 0) и т. д.) и выби-
рая в качестве С первые к точек, получим правило не менее
мощное, чем любое другое.
2.2. Критерий Неймана—Пирсона. Рассмотрим простейший
случай, когда имеется единственная альтернатива. Обозначим
через Р0 распределение при гипотезе Я0, через Л — распреде-
ление при альтернативной гипотезе Н\. Пусть производятся
наблюдения над случайным элементом в некотором измеримом
пространстве (Х,Ж). Тогда можем считать, что имеется одно
наблюдение (п независимых наблюдений величины в Я можно
рассматривать как одно наблюдение величины в Яп с незави-
симыми одинаково распределенными компонентами). На ос-
новании этого наблюдения нужно принять или отвергнуть гипо-
тезу Я0. Правило принятия определяется критической об-
ластью С&<%. Вероятность ошибки первого рода будет <х =
= F0(C), второго [5=1—F\(C). Заметим, что если меры F0 и F\
взаимно сингулярны, можно указать такое множество Bq6&,
что F0(S0) = 1, Fi(B0)=0. Если в качестве С взять Х\В0, то
будем иметь а = 0, [5 = 0. Таким образом, имеется правило с
наименьшими возможными вероятностями ошибок первого и
второго рода. Рассмотрим случай, когда мера F\ абсолютно
непрерывна относительно F0. Обозначим через f(x) плотность
меры F\ относительно Fq. Следующая теорема описывает не-
который класс неулучшаемых правил.
Теорема 1 (Неймана—Пирсона). Пусть С^9% — таково,
что
sup / (х)< inf / (х), a = F0(C).
х£Х\С х£С
Тогда каково бы ни было С^Й, для которого F0(C0<a будет
fi(C,)<f,(C).
Доказательство. Обозначим а= inf / (х). Тогда
х&с
F,(C)-F1(C1) = F1(C\C1)-F1(C1\C)= $ f(x)F0(dx)~
с\с,
/ (х) F0 (dx) > aF0 (С \ С,) - aF0 (С, \С) = a (F0(C) - F0 (С,))
Ci\C
(при хеС\Сх f(x)^a, при x^Ci\C f{x)s^a). □
Следствие 1. Пусть {Ra, a£R+} — класс правил с кри-
тическими множествами Са= {х : f(x) >а}. Это полный класс
неулучшаемых правил.
Следствие 2. Пусть произведено п наблюдений над слу-
чайной величиной со значениями в R. Гипотеза Я0 заключается
в том, что величина имеет плотность распределения fo(x), а
гипотеза Нх — в том, что плотность равна fi(x). Тогда правила
с критическими областями вида
А=] /о (■**)'
неулучшаемы.
Пример. Пусть
Тогда класс правил с критическими множествами вида {х^Рп'
2^х\ > ч> ^6Р+ является полным классом неулучшаемых правил.
Это вытекает из следствия 2 и того, что для всякого аб(0, I)
можно указать такое ^, что
где /^ — нормальное распределение в 7?и с плотностью
п
П/„(**).
2.3. Обнаружение сигнала на фоне шума. Рассмотрим сле-
дующую задачу. На приемник поступает некоторое «сообще-
ние», которое можно описать числовой функцией, определенной
на отрезке [а, Ь]. Эта функция представляет собой случайный
процесс, случайность вызвана имеющимися в окружающей сре-
де «шумами». Если, например, сообщение передается с по-
мощью радиоволн, то шумы вызваны внешним электромагнит-
ным полем, источником которого являются солнечное излуче-
ние, атмосферные явления, производственная деятельность
человека. Предположим, что приемник должен принять некото-
рый полезный сигнал известной формы. Поэтому, приняв сооб-
щение, мы должны решить, имеется ли в нем этот полезный
сигнал, или сообщение представляет собой чистый шум. Огра-
ничимся простейшим случаем, когда шум и сигнал входят в
сообщение аддитивно. Пусть а (О, №[а, Ь]—функция, опреде-
ляющая сигнал, —случайный процесс, определяющий
«шум». На приемник поступает либо чистый шум, т. е. процесс
КО. либо сигнал и шум, т. е. £(0+а(0- Обозначим через р0
меру в пространстве функций, отвечающую процессу че-
рез ц1 — меру, отвечающую |(0+а(0- С точки зрения ста-
тистики мы должны принять или отвергнуть гипотезу Н0, за-
ключающуюся в том, что поступивший на приемник процесс
*(0 имеет распределение ро при альтернативе Н\—имеет
распределение рь Предположим, что мера р! абсолютно непре-
рывна относительно ро и ?(х)=~^1 (х)> аргументом служит
функция, определенная на [а, Ь]. Тогда, как вытекает из теоре-
мы Неймана—Пирсона, принимая гипотезу Я0 при /(х)^с и
отвергая при /(х)>с, мы минимизируем ошибку второго рода
р1 ({х : I (х) г^с}) при ошибке первого рода а = ро( {х : } (х) >с}).
