Вероятность: основные понятия, структура, методы. - Скороход A.B.
Скачать (прямая ссылка):
x _ _ 0«<1
D+= sup 1/"л (/=■„* (0-1).
0<«1
Правая часть последних равенств не зависит от F0(x).
2) Существуют предельные распределения для Dn и Dt
при я~> оо :
оо
lim P{Dn<2}= 2 (-1)**-2*'", (z>0) (8)
Доказательство этих формул весьма громоздко. Укажем
лишь идею их вывода. Обозначим через г|„ процесс т]п(0 =
= ^n(Fn*(0—0- Используя центральную предельную теорему,
можно установить, что для любых tu h,..., tn£[0, 1] совмест-
ное распределение r\n (ti),.. ■, т]„ (tm) сходится к совместному
распределению величин ц (t\),..., т) (1т), где т)(0> ^б[0, 1] —
гауссовский случайный процесс со средним 0 и корреляцион-
ной функцией r(t,s)=t{l—s) при 0^/^s^l. Легко убедить-
ся, что r\(t)=w(t)—tw(ï), где w (0 — винеровский процесс.
Можно доказать (используя компактность мер, отвечающих
т]и(0 в некотором метрическом пространстве), что распределе-
ния функционалов supri„(0 и sup|r|„(0| сходятся к распреде-
t t
лениям величин sup(да (0—tw{\)) и sup I w (0— tw(\) I. Справа
в (8) и (9) и выписаны распределения этих величин.
§ 2. Проверка гипотез
В предыдущем параграфе уже рассматривался вопрос о со-
гласии имеющихся наблюдений с гипотезой о том, что функция
распределения имеет данный вид. Однако не исключено, что
эти наблюдения будут согласовываться и с другими гипотеза-
ми о функции распределения. Как выбрать правильную гипо-
тезу из нескольких?
2.1. Постановка задачи. Будем считать, что множество воз-
можных распределений можно параметризовать, обозначим его
{Ре, 866}. Среди этих распределений выделено одно Рви, которое
играет роль основной проверяемой гипотезы. Остальные распре-
деления являются альтернативными гипотезами. Нужно на основа-
нии наблюдений принять или отвергнуть гипотезу Н0: распреде-
ление наблюдаемой величины есть При этом естественно
учитывать возможные альтернативы. Каждое правило, на основа-
нии которого применяется или отвергается гипотеза Н0, опре-
деляется множеством С с/?", С —- борелевское множество, такое
что при (хи ..., хп)£С гипотеза Н0 отвергается. Множество С
называется критическим. При (ль я„)бС гипотеза Н0 при-
нимается? Качество правила характеризуется, во-первых, вероят-
ностью ^еДС) отвергнуть гипотезу Н0, если она истинна. В этом
случае говорят, что мы делаем ошибку первого рода, величина
/7е0(С) называется вероятностью ошибки первого рода,
Естественно, что нужно рассматривать такие правила, для ко-
торых эта вероятность достаточно мала. Вообще говоря, выбо-
ром С ее можно сделать сколь.-угодно малой (например, при-
нимая гипотезу Н0 всегда, т. е., полагая С = 0, мы вероятность
ошибки первого рода превратим в 0). Но при этом мы начнем
принимать гипотезу Н0 и тогда, когда она неверна (это ошиб-
ка второго рода). Поэтому вводится вторая характеристика
правила: вероятность ошибки второго рода Рв(Яп\С), 0б@\
\{В0}. Обычно задача ставится так: среди правил, для кото-
рых вероятность ошибки первого рода не превосходит заданно-
го числа а, найти такое, для которого вероятность ошибки
второго] рода в определенном смысле минимальна. Конечно, иде-
альный'случай, когда существует такое правило, что для лю-
бого другого (а фиксировано) вероятность ошибки второго ро-
да не меньше, чем у данного, каково бы ни было 8^В0. Обыч-
но в статистике рассматривают вместо вероятности ошибки
второго рода функцию т(0) = 1—(/?П\С) =.Ре(С), которая
называется мощностью правила. Будем обозначать правило
принятия гипотезы символами Я (с индексами или без них),
каждое правило задается критическим множеством. Функцию
мощности для правила Я будем обозначать тл(8). Правило
/?1 называется равномерно более мощным, чем правило #2,
если для всех 0=7^00 шК1(в) ^т^,(в) и хотя бы для одного 0
т#1 (6) >т#2(0). Если выполнено только первое соотношение,
будем говорить, что #л равномерно не менее мощно, чем /?2-
Некоторый класс правил 91 называется полным, если для вся-
кого Р существует Р'^ЭЗ равномерно не менее мощное, чем Р.
Правило равномерно неулучшаемо, если не существует прави-
ла равномерно более мощного. Всякое равномерно неулучшае-
мое правило можно использовать для принятия гипотезы, при
некоторых альтернативах мы при этом поступаем оптимальным
образом. Задача о проверке гипотезы Я0 (при заданном мно-
жестве альтернатив) может считаться решенной, если для вся-
кого а>0 описаны все неулучшаемые правила или хотя бы
один полный класс таких правил. Может оказаться, что не-
улучшаемых правил вообще нет, тогда решение задачи сводит-
ся к описанию полных классов.
Пример. Произведено п испытаний, в которых наблюдается
событие А. Гипотеза Н0: Р(Л) = у. В качестве альтернатив
выступают все распределения, для которых Р(А)>-^. Возмож-
ные наблюдения — строки из нулей и единиц. Так как вероят-
ность такой строки при гипотезе Нй равна ^й» то для любой кри-
