Вероятность: основные понятия, структура, методы. - Скороход A.B.

полностью определяется вариационным рядом. Найдем условное
распределение хи...,хп при заданных х],х*п. Очевидно, х{
принимают одно из значений вариационного ряда. Вероятности

P j X j —• xt ^,..., xn — xt IX],. . ., Xn},

t*i,...,i„ — перестановка чисел 1,...,м равны между собой,
так как х;* — симметрические функции от Х\,...,хп. Значит,
эти вероятности равны (я!)-1. Это и доказывает наше утверж-
дение.

а) Эмпирические характеристики распре-
деления. Fn*{x) является функцией распределения и по
этому распределению можно вычислять характеристики, кото-
рые обычно вычисляются для неслучайных распределений. Так
вычисленные характеристики носят название эмпирических.
Величина

п

Х" = Т 2 Xk = ! XdFn (Х) (5>

называется эмпирическим средним,

п

sl = -^^(xk — xn) = \ x2dF*n(x) — (хп)2 — (6)

" & __

эмпирической дисперсией, a sn = +У sn —средним квадратиче-
ским отклонением. Рассматриваются также эмпирические момен-
ты порядка а

п

К (") = т 2 I я* Г = 11 х | № (л). (7)

А —1

Другой класс характеристик, не выражающихся интегралами по
F*n (х), представляют эмпирические квантили: эмпирическим
квантилем порядка р, 0</?<1 называется минимальное реше-
ние уравнения

Fl (x)<p<Fn(x + ),
обозначим его q'n{p). Легко видеть, что qni^~^ = xk, qn(P) =
= х*[пр[+], р¥=~, ([•] —целая часть числа).

1.3. Усиленный закон больших чисел и предельное поведе-
ние эмпирических характеристик. Из усиленного закона боль-
ших чисел вытекает, что частота vn с вероятностью 1 стремится
к р при п->оо. Докажем теперь усиленный закон больших чи-
сел для эмпирической функции распределения.

Те о р е м а 3. С вероятностью 1

lim sup I F'l (x) — F (x) | = 0.

n->co X

Доказательство. Напомним, что по предположению
F (х) — непрерывная функция. Пусть гъzm — таковы, что

F(zk)——, k=\,...,m — \. Из усиленного закона больших чи-

сел для частот вытекает, что с вероятностью 1 lim|F^(2&) —
— F(zk)\ = 0. Положим

т)„=max | Fn (zk) — F (zk) \.

При x<zx

IF'n (x)-F (x)I <Fn (^)V^<~ + r)„,
при zk_x<x<zk
\Fl(x)-Fn(x)\<\Fl(zk)-^\w\^-F*(zk^)\<^ + ^

а при x>zm_l

\F:{x)-Fn{x)\<~y\\-F:(z^)\<^ + ^n.

Таким образом с вероятностью 1

iimsup|K(x) — F(x)\<~. □

л->оо Л-

Следствие. Пусть да удовлетворяет соотношению
F(qa)=a, 0<а<1, и для всех x<qa F(x)<a, для всех x>qa
F(x)>a. Тогда qn*(a)-+qa при п~>-оо с вероятностью 1. Не-
посредственно из усиленного закона больших чисел и формулы
(7) вытекает, что если / \x\adF{x) <оо, то с вероятностью 1

lim т*п (a)i= f | х\а dF (х).

П-*оо

1.4. Критерий согласия Колмогорова—Смирнова. Предпо-
ложим, что на основании некоторых априорных данных (т. е.
независимых от имеющихся наблюдений) можно ожидать, что

функция распределения наблюдений хх.....хп совпадает с

данной функцией распределения F0(x) (например, нормальна
со средним 0 и дисперсией 1). Как установить, согласуется ли
такое предположение с имеющимися наблюдениями? Для от-
вета нлэтот вопрос в статистике используются критерии со-
гласия, ^ыберем некоторую неотрицательную статистику
gn(x\,... \хп). Найдем ее распределение, если распределение
величин xk будет F0(x). Пусть это Gn(x). Зафиксируем некото-
рое число е>0 и пусть ztn таково, что Gn(zsn)^l—е. Тогда
если справедлива гипотеза о том, что Fo(x) есть истинная
функция распределения и gn(xx,... ,хп) j^zen, то в единствен-
ном эксперименте, результатом которого есть измерение функ-
ции gn (xi,..., хп)> произошло событие, вероятность которого
меньше или равна е. Поэтому в этом случае гипотеза отвер-
гается. Если gn(xx,..., хп) <z8n, то считаем, что наблюдения не
противоречат гипотезе о том, что функция распределения есть
F0(x). Выбор е зависит от условий конкретной задачи. Функ-

ция gn(xi,...,xn) носит также название критерия. Мы рас-
смотрим два таких критерия

D„==Vnsup\F0(x) — F„ (х)\

х

Dt = V~n sup (Fn (x) — F0 (x)).

X

Первый был предложен A. H. Колмогоровым, второй —
H. В. Смирновым. Удобство пользования этими критериями вы-
текает из следующих свойств:

1) Распределение Dn (Dn+) в предположении, что истин-
ная функция распределения есть Fq(x), не зависит от F0(x).

Если xk имеет функцию распределения F0(x), то F0(xk) имеет

равномерное распределение на [0, 1]. Пусть xt — F0(Xi), Fn(x) —
эмпирическая функция распределения для хи i=l, тогда

п п.

Fn(F0 (*))=— 2 I{p^x0<F^Y=T^iI{xi<x}=F*ni<x^
Поэтому

D„ = sup У п. I Fl (F0 (x)) — F0 (x) I = sup Vn | Fl (t) — 11,