Вероятность: основные понятия, структура, методы. - Скороход A.B.
Скачать (прямая ссылка):
системы влияет на будущее только через настоящее. Дискрет-
ные последовательности событий, обладающих этим свойством
были введены Марковым и получили название цепей Маркова.
Процессы с непрерывным временем ввел А. Н. Колмогоров, он
называл их стохастически определенными. В дальнейшем они
стали называться (по аналогии с процессами с дискретным
временем) марковскими процессами.
§ 1. Определение и общие свойства
1.1. Определение марковского процесса. Пусть (X, Я) —
измеримое пространство, которое будет играть роль фазового
пространства рассматриваемого процесса. Мы будем рассмат-
ривать процессы, определенные на /?+. При определении мар-
ковского процесса естественно рассматривать не один процесс,
а целое семейство процессов £8, *(/), Г^б; |8, *(0 описывает
эволюцию системы, которая в начальный момент 5 находилась
в состоянии х. Пусть {£2, &~) — пространство элементарных со-
бытий с о-алгеброй событий 9~. Нам удобно считать, что каж-
дому |5>х(0 отвечает на {£1,ЗГ} своя вероятностная мера Р„ж(-).
Таким образом, марковскому процессу будет от-
вечать семейство вероятностных пространств ({О., ЗГ, Р„ж},
хб/?+, х£Х). Для марковского процесса меры Р3, х согласованы
определенным образом. Пусть б<£ — о-алгебра событий,
которые наблюдаются на отрезке [я,/] (в частности £8, х(и)
при ив[Б, 0 измеримо относительно Из приведенного вы-
ше наглядного определения вытекает, что при з<и условное
распределение процесса |я, ж(/) на /, оо) при заданном ^.«(и)
на [5, и] должно быть таким, как распределение процесса, ко-
торый начинается в момент и из точки %$,х(и). Точно это
свойство можно сформулировать так: с вероятностью Р8, *=1
= Р«.1<в)Й(*1)ел„ &(*в)еАЖ (1)
0<5<и<^,< ... ^ю Аке@,
(здесь £(•) обозначает процесс, распределения которого опре-
деляются мерой, под знаком которой стоит событие, определяе-
мое £(•) : Р„,{(и)(С) = Р„,ж(С) |Ж=Е(«)).
Заметим, что именно то обстоятельство, что мы имеем различ-
ные меры, позволяет нам обозначать процесс одним и тем же
символом. В дальнейшем, поскольку рассматриваются процес-
сы, начинающиеся в различные моменты времени, будем ис-
пользовать обозначение £в(/) для процесса, определенного для
Тогда (1) перепишется так:
Р*,* {£, (<0еАи ..., |, (*„)еАп) | <Г*},=
= Р«.б,(«)Ни(ША,, ...ЛиУп)еАп}. (2)
Таким образом, марковский процесс задан, если заданы
1) Фазовое пространство — измеримое пространство
2) Измеримое пространство {Q, У} и семейство ст-алгебр
fFÏcy, 0<s<^<oo, удовлетворяющих условию ystc£Ft при
u<s <г!<1».
3) Семейство функций îs(t) = îs(t, и)> s£R+, t>s, при всех
0<s<^ ls(t, со) —измеримое отображение Q в X относительно
о-алгебры У и
4) Семейство вероятностных мер Ps, х(-) на У, удовлетво-
ряющих условиям
а) для всех sQR+, xGX Ps, x{h(s) =x) = 1,
б) для всех ft, 0^s<u^ti< ... <tn, Ai,... ,AnG<% с веро-
ятностью PS) x=l выполнено (2),
в) функция Ps, x{%s(t)^A} измерима по х при s<t, A^âS.
Будем обозначать математическое ожидание по мере Ps, х
через Ms, х. Соотношение (2) можно переписать так:
mSiX \ ÛiAk{îs(tk))\yu)=mUlls{u)fliAk(is(tk)). (3)
j k=\
Здесь s<u^.t\< ... <tn, Ah£$!, k=\,...,n, равенство выпол-
няется с вероятностью ps, ж=1
1.2. Вероятность перехода. Вероятностью перехода назы-
вается функция P(s, х, t, А) = Ps, x{%s(t) бЛ}. Она удовлетворяет
следующим очевидным свойствам.
I. P(s,x,t,A) определена при O^s^, х£Х и измерима
по х.
II. P(s,x, t, А) является вероятностной мерой по Ле^.
Следующее свойство ^определяет марковский характер про-
цесса.
III. P{s,x,t,A) удовлетворяет уравнению (уравнению Чеп-
мена—Колмогорова) : при 0^s<Zu<Zt, А6^
Р (s, л, Л) = j Р (s, х, и, dz) Р (и, z, t, А). (4)
Действительно, воспользовавшись свойством 4, б), находим
Р^{1Л<)еЛ|^ч}==Р«.б,(«)(1«(0еА} = Р(и, h (и), t, А).
Взяв от обеих частей этого равенства математическое ожидание по
мере Ps,x, находим
J Ps.x {Is Wdz} Р (U, Z, t, A) = Ms,xPs,x{ls (t)eЛ I =
= Ps,x{îs(t)eA}.
Это и доказывает (4).
150
Используя равенство (3), можно получить следующую фор-
мулу для конечномерных распределений процесса gs(<) по ме-
ре Ps, х: при s<t{< ... <tn
p,,*{£,('i)eA„...,M'»)eAJ=
= М,,х/л, (Is (*,)) Ms.* ( П IAk (Is ('*)) 1?l
\ft=2
Л
= М,,*/л, (&, (Л)) M,l>6,(<1> П IAk (ltl (**)) =
