Вероятность: основные понятия, структура, методы. - Скороход A.B.
Скачать (прямая ссылка):
б) Непрерывное время. В случае непрерывного
времени естественно рассматривать вместо 6г, ег и Хг интегра-
лы от этих процессов (вместо процесса с независимыми значе-
ниями 8« рассматривается процесс с независимыми прираще-
ниями). Поэтому наблюдаемый процесс (будем его по-преж-
нему обозначать х{) представим в таком виде:
*, = $/{т<,}^ + |„ (17)
о
где |8 — однородный процесс с независимыми приращениями
ле зависящий от величины т, т — момент разладки, подлежа-
щий оценке. Будем предполагать, что % имеет плотность рас-
лределения ф(я):
■а —винеровский процесс, М|<=0, 0|( = 6^. Наша цель—
найти формулы фильтрации, аналогичные (16), эти формулы
должны задавать условную плотность распределения величи-
ны т при заданном х(з), 5^.1. Выберем /г>0 и пусть
*Я
е*=4 $ /К<4с?5' ^=Р{(и-1)А<^</яА}.
(А-1)я
Используя формулу (16), можем записать
,(«)
р (те [т -1) А, отА] | х<й>, ..., 4")} =, т-л"
уг(*) '
где
т—1 , г 2
1 (
тп
5 ехр{-/г(^-(2^-"))2}ф(я)^Х
тт 1 Г /г(4-1)2!
. _ , ,..... 2Ь
6=1
/ т—1 1 тя я . , , , (тя—ц)«
= ехр —А2 —1)А ^ в ** ф(й)й?и.
I *=1 > (т-\)п
Переходя в этом выражении к пределу при А->0, /ий->1,
/яА->- 5, получим такое выражение для условной плотности
распределения ф(я|^), где —«-алгебра, порожденная
(p(s)expj— j x(a)du—st\t\
ч>(* I -гНгй-f- <18>
\ ф (a) exp — f x (u) du—u/\t\du
bio I
2.3. Фильтрация цепи Маркова. Эта задача аналогична за-
даче о разладке, только процесс 6( является марковским про-
цессом с конечным множеством состояний. Наблюдается про-
цесс Х( = 8г+8(, где et — процесс с независимыми значениями,
нужно найти оценку для Qf.
а) Дискретное время. Пусть {8(, t = 0, 1, 2,...} —
однородная цепь Маркова с состояниями {1,...,г}, вероят-
ности перехода за 1 шаг обозначим через ptj, t,/б{1,..., г},
начальное распределение цепи р*(0), рц{п) и Рг(п)—вероят-
ность перехода за п шагов и распределение на n-ом шаге. От-
носительно {et} предполагаем, что это последовательность не-
зависимых одинаково распределенных величин, не зависящих в
совокупности от {0(}. Нужно найти условные вероятности
P{Qt = k/xu...,xn}, k = l,...,r, / = 0, 1,
(19)
м=0, 1, 2,.. .,
зная которые мы имеем полную информацию о 6(, содержа-
щуюся в наблюдениях х\,...,хп. Пусть F{x)—функция рас-
пределения 8i, тогда функция распределения величины еi-J-i,
i—\,...,r будет F(x—i). Выберем функцию распределения
G(x) так, чтобы F(x—i\ были абсолютно непрерывны относи-
тельно G (х), и положим
ш. (Х) dF{x-i)
ф'^,— dG(x) •
Найдем распределение последовательности {х0, Х\,...,хп},
Условное распределение этой последовательности при задан-
ных 6о, ■ ■ •, 6ft будет при k>n
Р (х0еА0, хпеАп | е0 = /„, • •., 8ft=ik) =
= \dF(yu — i0) ^dF (yx — h) ... \dF(yn — in),
До At An
таким образом оно зависит лишь от 0О, ..., 0„. Через функции %
это условное распределение выраждется так:
Р {х0(±А0, ..., хп(*Ап | б0, ..., 8П} —
п
= § 1а, (У о) ■■■ jan (Уп) П Фег {Уд П dQ (yk).
До 4=0
п
Пусть а„ (в„, • • ., 8„, У0, ■ ■ ., Уп) = П 4>в1 (Уд,
2=0
МУо. • • У„)=Ма(б0, . .., е„, Уи ■ • •. Уп) =
= 2л ап Со. •■■.*«, У о, • • •. 0я) /'о Со) Р Со. Н) ■■■ Р(1 (20)
«'.,....*„
Тогда
Р{л;обЛ0, .... *Д6А,} =
я
= $^.({/0) ... 1Ап{уп)ап(у0, ..., уп)ПсЮ (ук).
Для вычисления функций а„ (у0, ..., уп) удобно ввести функции
ап (г0. У о, • • • 1 Уя> 0 =
= 2 К"С0. • ■ •. *я-ь *. «/о. • • Уп)Р(10> • ■ • />{*я-п О- (21)
Тогда
«я (У0' ■ ■ ■ . Уп) = 2 "я С0' Уо> ■ ■ • » У», 0 />0 (*0)> (22)
ая+1 Со> #0» ' • •> Уя+ь 0 =
= 2 «я Уо. ■ • • > Уя. У) (Уп+\) Фг (г/я+О- (23)
Формулы (23) и (22) позволяют вычислять ап(уо,... ,уп) по-
следовательно.
Рассмотрим теперь условное распределение 6о, ...,9П при
заданных х0,...,хп. Так как
Р{х0(+А0, ...,хп&Ап, Э0 = г0, ...,6и=^я) =
= Р{л;0бЛо, ..., л„еЛ„|90 = г0, ...,9„ = г„}Х
Х/?0 Со)/7 Со' *1> • • ■ Р(*я-1. *я).
то
Р (бо — ^0' • • •' 9 я" ^я | -*-0' • • • ' Хп) = ^я Со> • • •; ^я> -*"0' • • • ' *^п) X
