Вероятность: основные понятия, структура, методы. - Скороход A.B.

= 2 апе^". Очевидно, Р_ ^0 (X) /_ (X)) = £0 (X) /_ (X),

Я_ М /+(л)) = 0. Поэтому

£о (Ь) = Я_ (/щ (X) /+ (Л.)) /I1 (Я). (14)

§ 2. Нелинейная фильтрация

2.1. Общие замечания. Задача нелинейной фильтрации ана-
логична задаче линейной, но в качестве оценок случайной ве-
личины могут выступать уже произвольные функции от наблю-
даемых случайных величин. Пусть наблюдаются величины
11,..., 1п, нужно оценить величину г]. Будем предполагать,
что М|г||2<;оо, и искать такую функцию ц{х\,-..,хп), изме-
римую на Яп, чтобы М(г|—£(1ь ..., 1«))2 было минимальным.
Так как

М(г]-£(11, ...,Ея))2 = ММ((г|-£(!,, У)2...,!„) =
= М(М(г|2|1ь У-2М(г||1„ ...,!„)£(!, . ..,!„) +
+ ё2(1и ...,1„)) = М[л2-(М(г,|1„ ...,1п)П +
+ М(М(г,|1ь 1п)-ё(и, и)2-
Первое слагаемое в правой части не зависит от выбора £, вто-
рое будет минимальным, если оно равно нулю, т. е. с вероят-
ностью 1

£(11,...,1„)=М(г|/1Ь...,1„).

Пусть имеется семейство наблюдаемых величин Х6Л}.

Обозначим через $ГХ наименьшую с-алгебру, относительно ко-
торой измеримы все величины 1х, ^-измеримые величины £,
для которых М£2<оо, и будем выбирать в качестве оценок.
Для каждой такой величины можно указать последователь-
ность измеримых функций gn (хи..., хп) и такие ki£A, что

llmM|£-g„(U„ ...,1ая)|2 = 0.

Пусть L2(P, Q) — гильбертово пространство всех величин £ на
исходном вероятностном пространстве, для которых М£2 < со.
L2 (З^)—подпространство ^-измеримых величин. Тогда наилучшая
оценка величины л — это такая величина 'Пб^гС^). Для которой
М | г) — т) |2 минимально. Это значит, что г\ — проекция rj на Z2(^).
Поэтому M"nE = MT)l для всякой ограниченной ^-измеримой
величины £ т. е.

Л = М(л|£"5). (15)

Нелинейная фильтрация сводится к определению условного ма-
тематического ожидания случайной величины относительно
о-алгебры, порождаемой наблюдаемыми величинами.

2.2. Задача о разладке. Имеется процесс Qt вида 6г = /<г>т>.
Момент т •— момент «разладки» некоторого прибора. Пока
6* = 0, прибор находится в рабочем состоянии, при 0г = 1 прибор
становится разлаженным. Нужно установить как можно точнее
момент разладки, если процесс 6( наблюдается при наличии
аддитивного шума, т. е. наблюдается процесс Х( = 6г+8г. Обыч-
но предполагается, что et не зависит от 0* и имеет независимые
значения в различные моменты времени.

а) Дискретное время. Пусть известны ph =
= Р{т = &} и распределение величин е^, которые считаются не-
зависимыми и одинаково распределенными. Если F(x)—рас-
пределение Еь, то будем предполагать, что F(x—1) =
= P{eft+K#} абсолютно непрерывно относительно F(x) и
функция

фЫ „^U-i)
ф^ dF(x)

почти всюду по dF (х) положительна. Тогда ^^^^ =ф (Х + \у

т. е. F(x) также абсолютно непрерывна относительно F(x—1).
Если бы F (х—1) и F (х) были взаимно сингулярны, то по на-
блюдениям величин Xft = 0fe+Eft мы могли бы достоверно и без
запаздывания определить % следующим образом. Пусть боре-
левское множество Л таково, что

Р{Е1еЛ}=0, Р{в1 + 1еЛ} = 1.

Тогда %=k, если 1а(х{)=0 при i<.k, IA(xh) = \.

Поэтому предположение об эквивалентности Р(х—1) и Р(х)
делает задачу более содержательной. Естественно считать, что
приняв решение, что х=к, и остановив процесс в этот момент,
если на самом деле х=П, мы имеем некоторый убыток апй>0.
Задача состоит в минимизации убытка.

Мы будем рассматривать последовательные решения зада-
чи: в каждый момент времени мы принимаем решение остано-
вить процесс или продолжать, это решение принимается на ос-
новании полученных к этому времени наблюдений процесса.

Введем величины

к ^

2г> XX 7Г7-^~, 2П 1 .

.=1Ф(-*/)' 0

Очевидно, это также наблюдаемая последовательность. Оказы-
вается, для принятия решений достаточно знать эту последова-
тельность, так как условное распределение величины т при
заданных х\,...,хп выражается через величины ги... ,гп по
следующим формулам:

Р{х = т\хи хп}=—-—_- при те<я,

2 Р1г1-1+гп 2 р!

1=1 /=л+1

9{т = т\хи ...,хп} = —-—_- при т>н. (16)

2 р 1*1-1+гп 2 Р1

Формулы (16) и называются формулами фильтрации для зада-
чи о разладке. Зная эти вероятности, мы можем вычислить ве-
личины

№п(хи ...,х„) =1ап,тР{х = т/хи ...,хп} —

убыток, получаемый если остановка произведена в момент п
при наблюдениях Х\,...,хп. Теперь остается решить задачу
Оптимальной остановки для последовательности {Цп~
= шп (*ь... ,хп), п^1}: найти такой момент остановки £, что
Мт)с является минимальным, такого рода задачи рассматрива-
лись в теории управляемых процессов.