Вероятность: основные понятия, структура, методы. - Скороход A.B.
Скачать (прямая ссылка):
где Р и 0 — многочлены. Будем предполагать, что многочлены
Р и <3 не обращаются в нуль на единичной окружности. Если
<р(г) —Р{г)/0.(г) — аналитическая функция, то поскольку она
вещественна при |г|=1, то из равенств Р(г0)=0, (3(21) =0 вы-
текает, что Я(1/2о)=0, <2(^-)=0. Пусть гь 22,2т — корни
Р(г), для которых |гй|<1, & = 1,...,т, щ,ит — корни
(2(г), для которых |ий|<1, тогда
т
П (j-F.)]
~~п ~ j
П [(*—«*) (7—й*)]
m т _
П (е"1-**) («'*—*"*) П (1-г*в-'я)(1—г*в'*)
/(М = А^----,
П (ea-uk)(eiX-uk) П (1—»*в-'я)(1-»*ва)
т п
А+(Х)=лП (1— z>'A) П (1 - ййв'*)-1,
*>=i *=i
га т
= П (1 П (1 - г**-'*)"1.
в) Случай гладкой плотности. Предположим,
что In f(X) разлагается в абсолютно сходящийся ряд Фурье:
со
in/(A.)= 2 апеап и 2кк00•
П = — со
Это будет, например, когда /' (Я) ограничено.
Тогда
где
А+(Я,)=-ехр|2ая^»|, А_(Х)=-ехр |-2о««еаи(-
То, что И.+ (%)£Ц$, я_(Я,)б/.2~, вытекает из того, что ряды Фурье
для к±(%) можно получить, разлагая экспоненту в ряд Тей-
лора и собирая коэффициенты при е**п. Очевидно, что нулевой
коэффициент Фурье у Н-(%) равен 1. Найдем ошибку прогноза:
У тс
^ Ж(и-1г)2^ l(e^-g1(к))^^=^1lГ))f(h)dк^
—тс
тс
—тс
мы воспользовались тем, что gl (%)£Ь2 (Г), и поэтому
тс
\{e>>>-g^ (я.))гйяГ)/(Х)^=о.
. —тс
Таким образом,
я
Mfo-I,)2- 5(1-е-'^,(Х))/(Х)^ =
—я
Я Я С со ■>
= — \h+{k)dk = jjexp 2 Л =
/га! .
т=1 \л=1
и=0
е?А, = 2яеЧ
Так как
то
тс
М і І,-ї, |2 = 2я exp Jln / (>•)
1.3. Фильтрация одной стационарной последовательности по
другой. Рассмотрим двумерную стационарную последователь-
ность {(|ft, t|ft), k = 0, ±1, ±2,...}. Считаем, что {^—на-
блюдаемая последовательность, а {лд} нужно оценить. Обозна-
чим
г6£(А) = М1а|0, Гщ(11) = Щк\, гч5с=Мл*60, гчч(А) = Мл*Л0-
(предполагаем, что М£а = МтЇй = 0). Справедливы спектральные
представления
JT ГС
rn(k)= jj e'*WES(b). гБп(А)= ^ el™dF^(k),
—71 —Я
Я
an (А) = J eWFrt (к), /•„„ (А) = jj (Л),
—тс —тс
я тс
—тс —я
(#1 (А>). (Я.)) —векторная функция с ортогональными прираще-
ниями
(Л) = М | (к) |2, rfFjr, (X) = №уг (X) dyn (к),
= dFm(k) = M\dy^(k)\2.
а) Фильтрация по всей последовательнос-
ти. В этом случае считаем, что последовательность {|ь} на-
блюдается полностью. Нужно оценить, например, т]о. Имеем
для оценки г)о представление
тс
\= \ёо(>•)где ёо(к)еЬ2(Ри).
—тс
Для всех к должно выполняться условие
М:п0|4 = МЛо1» = Гбт1(а).
Это соотношение эквивалентно равенству
те тете
^ £0 (а) е-'^^б (а) = ГЕч (А) = ^ е'*»^£т, (л) = $ б-'«^чЕ (а)
—те —те —тс
(мы пользуемся тем, что г^г, (к) — вещественно). Из равенства
тс тс
5 £0 (а) (а) = ^ е-^а-Г^ (а), А = 0, ± 1, ± 2, . . . .
—тс —тс
вытекает, что для всякой непрерывной функции 1|) (л)
тс тс
5 1р(Ъ)Ио(Ь)с1Ри(1)^ 5 я|;(а)^(а),
—тс —тс
откуда вытекает, что
б) Неупреждающая фильтрация. В этом слу-
чае последовательность {^} наблюдается по настоящий мо-
мент времени (его можно считать равным 0), оценивается
значение т)о. Тогда оценка имеет вид
тс
\= 1 ёо(ь)*у%(А), gQ(К)иг (/=66),
—тс
при этом для всех & <; 0
Мл0Е*=гЕт1(й)
или
тс тс
| £0(а)е-^^5 (а)= | б"'"^„6 (а), А <0. (12)
—тс —тс
Предположим, что существует спектральная плотность /ц(л) =
= 4-^15 (а) и при некотором с>0 с</к(а)< 1/с. Тогда
6<0
Легко видеть, что Р^Л^) абсолютно непрерывно относительно
Рц (X), значит, при сделанном предположении существует
/че(а)-—^—•
Из (12) вытекает, что
тс
1 Ы^) 1и^)- /^{Ще-^йХ^О, £<0.
—я
ёГо (^) /ее(Ь)-/че (Ь)=е'*г+(Ь),
где 2+(А,)6/.^. Предположим, что
/ее(*) =
где /+(Х)еЬ2, /_(А.)612 и /_ (Х)612. Как показано в п. 1.2 в),
такое представление возможно, если 1п /ц (X) разлагается в абсо-
лютно сходящийся ряд Фурье. Тогда
ёо М /- М = /пЕ (Л) /+ 00 + е1^ (X) /+ (Л). (13)
Введем на пространстве /,2 функций, интегрируемых с квадратом
на [ — я, я], оператор Р_: Р_ё (Х)^^апеЛп, если ё(Х) =
