Вероятность: основные понятия, структура, методы. - Скороход A.B.
Скачать (прямая ссылка):
Не ограничивая общности, можно считать, что Мг)=0. Через
Ь{г\, |х, ЯбЛ} обозначим подпространство величин, являющихся
замыканием в смысле сходимости в среднем квадратическом
множества линейных комбинаций
|рл + 2а*£*Л, "=1-2. •••^*еЛ., Р, айе/?|,
Ь {п., 1^1 ^6Л}—гильбертово пространство со скалярным произве-
дением < £1, £2 > . £гбА{л, Ея, ^бЛ}, 1{?я, ^бЛ}-подпро-
странство этого пространства. Линейная оценка л по величинам
Я,бЛ} — это элемент 1{^ДбЛ}. Таким образом^ нужно найти
такой элемент т|б/.{£я, Я,бЛ}, для которого М|т)—л |2 минимально.
Это будет тогда, когда л. есть ортогональная проекция ц на
^6Л), т. е. л —Л ортогонально Я,бЛ}. Последнее
эквивалентно совокупности равенств:
Мт)|я = Мл£*. (6)
Это соотношение обычно и применяется для построения
фильтра.
1.2. Прогноз стационарной последовательности. Рассмотрим
числовую стационарную (в широком смысле) последователь-
ность {|п, п=0, ±1, ±2,...}. Предположим, что эта последо-
вательность наблюдалась до настоящего момента времени
включительно, нужно «прогнозировать» ее значение в некото-
рый будущий момент времени. Можем считать, что настяощий
момент времени 1=§. Таким образом, имеем совокупность вели-
чин {%п, д^О} и величину |т, т>0. Нужно построить линей-
ную оценку величины \т по величинам {£„, п^О}. Для ста-
ционарной последовательности воспользуемся спектральным
представлением (см статью I, гл. 4, § 5.3 настоящего тома)
я
1„= | в^йу(%).
—те
где у (к)—случайная функция с ортогональными приращения-
ми на [—я, л], Ща"у(Х)\2=а'Р(1), Р(Я,) — спектральная
функция последовательности: если г„ = М^01п (мы считаем,
что М|ь = 0)—корреляционная функция последовательности,
то
я
г„= 5 е^йР (к).
Пусть 12(/г) —пространство комплекснозначных функций
g{K)t определенных и измеримых на [—я, я], для которых
л
| \g(k)\2dP(k)< оо.
—я
Это комплексное гильбертово пространство. Обозначим через
1*2~(Р) его подпространство, порожденное замыканием линей-
ных комбинаций вида
Легко видеть, что /.{£„, к<:0} совпадает с величинами вида
я
]* g (к) йу (к), где g (к)аЬ~ (Р). Значит, проекция величины %т
— Л
на 1{1п1 /г<0} имеет вид
л
1т= I ётОдЛу (к),
—я
а функция gm(k)QL2~ (Р) и для всех /г<0
— Я
* п (7)
X $ ёт(Ь)ёу(к)= ^ е-'^т(к)ёР(к).
— л —я
а) Эффективное решение задачи о прогно-
зе. Равенство (7) однозначно определяет функцию gm(k) из
Р~2 (Р)- Однако эффективное нахождение этой функции затруд-
нительно хотя бы потому, то нет эффективного описания
Г7(Р)- Ниже рассматривается случай, когда задача о прогнозе
может быть решена в определенном смысле эффективно.
Предположим, что существует спектральная плотность
/(к) = ^-Р(к) и она удовлетворяет условию: при некотором
с>0
с</(к)<\1с.
Лемма 1. Пространство (Т7) совпадает с пространством
функций g (к), пред ставимых рядами
2 сьеш,
(8)
А<0
где 2 к* I2 < 00 •
к<0
Доказательство. Покажем, что ряд (8) сходится в Ь2(р).
Имеем при п < т < О
] 2 с*«'"|2^(Я) =
-я 1 л<*<т
2
1 Л&
-я | п<А</п
2 к.|»<^-2|С.|».
а это выражение стремится к нулю при т-*- —сю. Так как
частные суммы ряда (8) принадлежат Ь2 (Р), то и его сумма
также принадлежит Ь2 (Р). Пусть теперь
/(X) <Л=«0.
Тогда
Так как
то
Иш ] ё{-к)-^скп)е^
к<0
л = 0.
(9)
5 \§(Х)\Ч\<- $ |ё(Л)|2/(А)^< оо,
<й=^2
Сквш, где 21с* 12 < 00 ■
а из (9) вытекает, что
2|с*-с<*>|2+2|^1г-*о.
*<0
*>0
т. е. 2|с*12==<-*- Лемма доказана.
Рассмотрим прогноз на один шаг (т = \). Из (7) получаем
—те
или
я
§ е'м»+|> е-а_1]/(а,)</а,во, «>о. (Ю)
— ГС
Функция h_('k) = g^('k)e-л — \ принадлежит Ь\~-пространству
функций вида
2а*еШ- 2к12<<»,
а функция
(Х)е-^_1]/(Х) = А+(Я.)
принадлежит пространству Ь2 функций вида 2 Ьфт, 2 I** I2 <-
< оо (это вытекает из (10)). Если нам удастся представить / (к)
в виде
где п_(к)£Ь2, А+(А,)б/.2\ то мы сможем найти £, (Я,): если
и аьф0, то
При этом будет выполнено (10), которое в нашем случае экви-
валентно (7).
б) Метод Яглома. Мы используем соотношение (11)
для нахождения /г_(Я) для одного класса спектральных плот-
ностей, которые часто встречаются в практических приложени-
ях, это спектральные плотности вида
