Элементарная геометрия - Шоластер Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
В теории измерения площадей многоугольников мы исходили из того, что каждый многоугольник равносоставлен с некоторым прямоугольником. Как видим, аналогичное предложение здесь не имеет места. Поэтому теория измерения объемов многогранников должна строиться иначе.
§ 74. Объем многогранников
В основе теории измерения объемов многогранников лежит следующее допущение, которое может быть строго доказано.
Мы допускаем, что каждому многограннику можно поставить в соответствие положительное действительное число так у что выполняются следующие условия:
1) равным многогранникам соответствуют равные числа;
2) если многогранник F представляет соединение двух многогранников F1 и F21 то ему соответствует число, равное сумме чисел, соответствующих многогранникам F1 и F2;
237
3) кубу, ребро которого принято за единицу длины, соответствует число один (единичный куб).
Число, соответствующее многограннику F при этих условиях, называется его объемом (об. F). Из условий 1—3 вытекают следующие следствия:
4) если многогранник представляет соединение многогранников F1,F21 Fk1TOo6.F = 06.F1 + об. F2 + ... + + об. Fk1
5) если многогранник F представляет часть многогранника Ф (т. е. Ф представляет соединение F и некоторых других многогранников), то об. F < об. Ф;
6) равносоставленные многогранники имеют равные объемы.
Многогранники, имеющие равные объемы, называются равновеликими, следовательно, можно сказать, что равно-составленные многогранники равновелики. Обратное предложение, как было отмечено выше, вообще говоря, не имеет места.
Теорема. Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерений.
Рассмотрим сначала прямоугольный параллелепипед с измерениями 1; 1; р.
а) р — целое число (черт. 208).
p=s
п=3
т-7
V / / / / / /
Черт. 208
WZZZZZ/
Черт. 209
Такой прямоугольный параллелепипед можно разложить на р единичных кубов. Объем каждого из них равен 1 (условия 1—3). По свойству 4 имеем:
р раз
об. F = \ + 1 + ... + I' = р.
б) р = — , где тип — натуральные числа (черт. 209).
Разложим единичный куб на п равных прямоугольных параллелепипедов плоскостями, параллельными одной из граней.
Так как р = ^1 то прямоугольный параллелепипед F мы
можем разложить на т таких равных между собой прямоугольных параллелепипедов. Пусть х — объем каждого из
238
них. Тогда по свойству 4 объем единичного куба равен пх, а объем параллелепипеда F равен тх. По условию Ъпх = 1. Отсюда:
X =— и об. F = тх = т • — = — = р. /г /г /г ^
в) р — иррациональное число (черт. 210). Пусть р- и р+ — приближенные значения р с точностью до соответственно с недостатком и избытком:
Возьмем прямоугольный
2Z7
параллелепипед F1 с измерениями 1; 1; р ~и прямоугольный параллелепипед F2 с измерениями 1; 1; р+ Легко видеть, что F1 Чер^ ш
является частью параллелепипеда F1 а последний — частью параллелепипеда F2. Поэтому по свойству 5:
об. F1 < об. F < об. F2. Так как р — и р+ — рациональные числа, то по доказанному:
об. F1= р~\ об. F2 = p+.
Отсюда:
р-<об. F<pf при любом Следовательно,
об. F = р.
Итак, объем прямоугольного параллелепипеда с измерениями 1; 1; р равен числу р.
Рассмотрим теперь прямоугольный параллелепипед F с измерениями а.Ь.с. Он равносоставлен с прямоугольным параллелепипедом F\ имеющим измерения 1; 1; р, где р = = abc (abc = 1 • 1 • р). По свойству 6 объемы их равны. По доказанному об. F' = р. Отсюда:
об. F = об. F' = р = ate.
239
Следствие 1. Объем прямоугольного параллелепипеда раеен произведению площади основания на высоту.
Чтобы убедиться в этом, достаточно принять грань параллелепипеда с ребрами b и с в качестве основания. Тогда ребро а явится высотой, а произведение be — площадью основания.
Следствие 2. Объем прямой призмы равен произведению площади основания на высоту.
Действительно, такая призма равносоставлена с прямоугольным параллелепипедом, имеющим ту же высоту и равновеликие основания (§ 73). Поэтому объем призмы равен объему этого параллелепипеда, объем которого по следствию 1 равен произведению высоты призмы на площадь ее основания.
Теорема. Объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту.
Доказательство теоремы начнем с рассмотрения частного случая, когда одно из боковых ребер пирамиды перпендикулярно основанию, т. е. является высотой пирамиды. Будем считать, что основанием пирамиды является любой выпуклый многоугольник.
§ 75. Объем пирамиды
р
3
d
Пусть PA — ребро пирамиды PABCD1 перпендикулярное основанию ее ABCD. Разобьем ребро PA на п равных частей точками A11 A21 An^1 и через эти точки проведем плоскости, параллельные основанию. Тогда получим п — 1 сечений пирамиды Si, Sz1 Sn - і (нумерация идет от вершины к основанию), каждое из которых представляет многоугольник, по-
240
Черт. 211
добный основанию. Проведем известное из школьного курса построение двух ступенчатых геометрических тел, представляющих соединение прямых призм, основаниями которых являются указанные сечения пирамиды, а высота-
