Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Шоластер Н.Н. -> "Элементарная геометрия" -> 7

Элементарная геометрия - Шоластер Н.Н.

Шоластер Н.Н. Элементарная геометрия. Под редакцией Иваницкой В.П. — М.: Государственное учебно-педагогическое издательство министерства просвещения РСФСР, 1959. — 272 c.
Скачать (прямая ссылка): egnnsholaster1959.djvu
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 < 7 > 8 9 10 11 12 13 .. 79 >> Следующая


Теорема. Любая прямая, проходящая через внутреннюю точку многоугольника, имеет с ним общий отрезок, содержащий данную точку и соединяющий две точки контура этого многоугольника.

Особое значение в курсе геометрии имеют выпуклые многоугольники, т. е. такие, которые представляют собой выпуклые фигуры. Следующая теорема устанавливает признак, по которому мы можем утверждать, что данный многоугольник выпуклый.

ломаной называются соответственно вершинами и сторонами многоугольника, а сама ломаная — контуром этого многоугольника.

Черт. 14

Пусть M — внутренняя точка многоугол ьника. Проведем через нее произвольную прямую а и обозначим буквами h и k взаимно дополнительные

18

Теорема. Многоугольник является выпуклым, если по отношению к прямой, проходящей через любые две его соседние вершины, все остальные вершины лежат по одну сторону от этой прямой (черт. 15).

Черт 15

Доказательство. Пусть ABCDE — данный многоугольник. Полуплоскость, ограниченную прямой AB (А и В — соседние вершины) и содержащую все вершины многоугольника, обозначим через Rab- Так как полуплоскость Rab — выпуклая фигура, то она содержит контур многоугольника. По доказанной выше теореме любая внутренняя точка многоугольника также принадлежит этой полуплоскости.

Пусть F — пересечение полуплоскостей RАв> Rbc9 Rcd, Rde и Rea- F — выпуклая фигура (§4), которой принадлежат все внутренние точки многоугольника и его контур. Докажем теперь, что любая точка фигуры F принадлежит данному многоугольнику.

Пусть — любая точка фигуры F9 a M — точка ее, являющаяся внутренней точкой данного многоугольника. Очевидно, нам достаточно рассмотреть случай, когда точка N не принадлежит контуру многоугольника. Отрезок MN не может пересекать контур многоугольника, так как иначе точка N не могла бы принадлежать всем указанным полуплоскостям. Поэтому — точка, принадлежащая вместе с точкой M одной области плоскости, определяемой дан-

19

ным многоугольником. Следовательно, N — внутренняя точка его.

Таким образом, установлена тождественность между фигурой F и данным многоугольником. Этим теорема доказана.

Простейшим многоугольником является треугольник. Очевидно, что для треугольника условие доказанной теоремы выполняется. Следовательно, треугольник — выпуклая фигура.

Пусть F — выпуклый многоугольник и А, В, С— три последовательные вершины его (Л и С — вершины, соседние с вершиной В). Угол, сторонами которого являются

каждому из своих углов (т. е. все точки многоугольника являются точками любого его угла).

Пересечение выпуклого многоугольника F и прямой а представляет выпуклую фигуру, принадлежащую прямой а. Таковой может быть только отрезок или отдельная точка (из аксиомы следует, что луч не может принадлежать многоугольнику). Если пересечением является отрезок, то концы его принадлежат контуру многоугольника. Если при этом отрезок не является стороной многоугольника, то его внутренние точки будут также внутренними точками многоугольника F. (Доказательство этого очевидного предложения опускаем.)

Отсюда вытекают следующие два свойства треугольника:

1. Если прямая лежит с треугольником в одной плоскости, не проходит ни через одну из его вершин и пересекает одну из его сторон, то она пересекает еще одну и только одну из двух других сторон этого треугольника.

лучи BA и ВС и который содержит отрезок АС, называется углом многоугольника F (черт. 16). При этом говорят, что данный угол образован сторонами многоугольника BA и ВС.

Черт. 16

Очевидно, что угол выпуклого многоугольника является выпуклой фигурой (§ 5). Можно показать также, что выпуклый многоугольник принадлежит

20

2. Прямая, проходящая через одну из вершин треугольника, и его внутреннюю точку, пересекает сторону треугольника, лежащую против этой вершины.

§ 7. Понятие движения в элементарной геометрии

В курсе элементарной геометрии мы устанавливаем равенство и неравенство фигур путем «наложения» одной из них на другую, т. е. пользуемся понятием движения. Если фигуры при наложении совместились, то мы называем их равными. Таким образом, понятию равенства фигур мы предпосылаем понятие движения. Само понятие движения в геометрии при этом становится основным, свойства его являются абстракцией соответствующих свойств перемещений реальных тел в пространстве.

При перемещении тела в пространстве оно имеет начальное и конечное положения, некоторая точка его из начального положения А перемещается в конечное положение А'. Положение твердого тела в пространстве полностью определено положением трех его точек, не лежащих на одной прямой. Если закрепить две точки твердого тела, то при повороте его вокруг оси все точки этой оси окажутся неподвижными. Таковы некоторые свойства перемещений реальных тел в пространстве, которое мы познаем при помощи опыта. Путем абстракции мы приходим к свойствам движения в геометрии, которые определяются аксиоматически.

В геометрии под движением фигуры F понимается особого рода преобразование ее в фигуру F', при котором каждой точке первой фигуры соответствует определенная точка второй фигуры. Таким образом, в отличие от движения в механике мы рассматриваем только исходное и конечное положения точек при движении.
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 < 7 > 8 9 10 11 12 13 .. 79 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed