Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Шоластер Н.Н. -> "Элементарная геометрия" -> 69

Элементарная геометрия - Шоластер Н.Н.

Шоластер Н.Н. Элементарная геометрия. Под редакцией Иваницкой В.П. — М.: Государственное учебно-педагогическое издательство министерства просвещения РСФСР, 1959. — 272 c.
Скачать (прямая ссылка): egnnsholaster1959.djvu
Предыдущая << 1 .. 63 64 65 66 67 68 < 69 > 70 71 72 73 74 75 .. 79 >> Следующая


В центре грани AFD и в центре противоположной ей грани CB'H' пересекаются три плоскости симметрии, каждая из которых проходит через вершину грани и перпендикулярна противолежащей стороне грани. Отсюда следует, что прямая, проходящая через центры противоположных граней икосаэдра, является его осью симметрии третьего порядка. Как легко подсчитать, икосаэдр имеет 10 осей симметрии третьего порядка.

В середине ребра AB и в середине противоположного ему ребра А 'В' пересекаются две плоскости симметрии: одна из них проходит через эти ребра, а другая перпендикулярна им. Прямая, проходящая через середины этих ребер, является осью симметрии второго порядка. Так как икосаэдр имеет 30 ребер, то он имеет 15 осей симметрии второго порядка.

Докажем, что икосаэдр других осей симметрии не имеет. При каждом самосовмещении некоторый плоский угол икосаэдра преобразуется в другой плоский угол (в частности, в тот же угол). Так как перемещение трех точек, не лежащих на одной прямой, полностью определяет движение, то число самосовмещений икосаэдра не может быть больше числа плоских углов его, т. е. больше 60. При каждом самосовмещении центр симметрии икосаэдра преобразуется сам в себя.

232

Поэтому каждое самосовмещение есть поворот икосаэдра около оси, проходящей через центр икосаэдра (§ 64).

Если ось s — ось симметрии многогранника п-го порядка, то существует п — 1 различных поворотов около нее, отличных от тождественного, при которых многогранник самосовмещается. Подсчитаем число таких самосовмещений для всех осей симметрии икосаэдра. Получим: (5—1)- 6 — для осей симметрии 5-го порядка, (3—I)-IO — для осей симметрии 3-го порядка, (2—1)-15 — дли осей симметрии 2-го порядка. Всего получим:

(5— 1)-6 + (3— 1)-10 + (2— 1) . 15 = 59

Прибавляя сюда тождественное движение, получим 60 различных самосовмещени й.

Так как других самосовмещений икосаэдр не может иметь, то он не имеет других осей симметрии, кроме найденных.

§ 72. Подобие многогранников

В главе V дано определение гомотетии для любых фигур, независимо от того, лежат ли они в одной плоскости или нет. После установления основных свойств гомотетии мы рассмотрели в этой главе подобие фигур на плоскости. Дадим теперь понятие о подобии фигур в пространстве.

Произведение прямой гомотетии на движение назовем преобразованием подобия.

Преобразование подобия можно представить как произведение движения на прямую гомотетию. Доказательство этих предложений является буквальным повторением доказательства соответствующих теорем из § 39. Отсюда следует, что преобразование, обратное подобию, есть подобие. Затем на основании этой теоремы легко показать, что произведение двух подобий есть подобие. На основании этого делаем вывод, что совокупность преобразований подобия образует группу. Совокупность преобразований подобия, при которых некоторая плоскость остается неизменной, представляет рассмотренную выше группу преобразований подобия на плоскости (подгруппа группы подобия).

При гомотетии в пространстве плоскость преобразуется в параллельную плоскость или в самое себя.

233

Действительно, пусть а и b — прямые плоскости а. При гомотетии они отображаются в прямые а' и Ь\ лежащие в некоторой плоскости ?. Возьмем произвольную точку M плоскости а и проведем через нее прямую C1 пересекающую прямые а и & в точках А и В. При гомотетии точки А и В отображаются в точки А' и В\ лежащие на прямых а' и b'. Поэтому прямая с\ гомотетичная прямой C1 лежит в плоскости ?, и поэтому в плоскости ? лежит точка M', гомотетичная точке М. Ведя рассуждения в обратном порядке (от точки M' к точке M)1 докажем, что каждая точка плоскости ? гомотетична определенной точке плоскости а. Отсюда следует, что плоскость ? гомотетична плоскости а.

Если мы возьмем многоугольник F1 лежащий в плоскости а, то он отобразится в многоугольник F', лежащий в плоскости ?.

Рассмотрим теперь выпуклый многогранник Ф. При гомотетии его поверхность отображается в замкнутую многогранную поверхность, ограничивающую выпуклый многогранник Ф\ Возьмем точку M1 лежащую внутри многогранника Ф. Прямая а, проходящая через нее, пересечет поверхность многогранника Ф в двух точках А и В, не лежащих в одной грани. При гомотетии они отобразятся в точки А' и В' поверхности многогранника Ф', тоже не лежащие в одной грани. Так как M — точка отрезка AB1 то гомотетичная ей точка M' принадлежит отрезку А'В'. Это значит, что точка M отобразится при гомотетии во внутреннюю точку многогранника Ф\ Таким же путем докажем, что всякая внутренняя точка многогранника Ф' гомотетична определенной внутренней точке многогранника Ф. Отсюда следует, что гомотетия отображает выпуклый многогранник в выпуклый же многогранник.

При преобразовании подобия выпуклый многогранник Ф отобразится в выпуклый многогранник Ф\ Как выяснено выше, существует преобразование подобия, обратное первому, отображающее второй многогранник в первый. Такие многогранники называются подобными.

Два многогранника называются подобными, если существует преобразование подобия, отображающее один из них в другой.
Предыдущая << 1 .. 63 64 65 66 67 68 < 69 > 70 71 72 73 74 75 .. 79 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed